هوگر قهرمانی

فرض کنید ) T = T ri(A, M, Bحلقه ی اول -۲بی تاب باشد. در این پایان نامه ما ابتدا شرایط لازم وکافی برای آنکه پاد-مشتق ها روی Tبرابر با صفر باشند را به دست می آوریم. در ادامه، مجموعه ی Sرا به صورت S = (A, B) j AB = ۰, A, B 2 T [ (A, X) j A 2 T , X 2 fP, Qg , در نظر می گیریم، که در آن Pخودتوان استاندارد Tو Q = I − Pاست و فرض می کنیم δ : T ! Tیک نگاشت )نه لزوما جمعی( باشد که روی Sمشتق پذیر جردن است. ما شرایط معادل مختلفی برای δبه دست می آوریم، به ویژه نشان می دهیم که ،δیک مشتق جمعی است. در نهایت تعمیمی از قضیه ی اول پوسنر برای مشتق های تعمیم یافته روی مدول های اول به دست می اوریم.

در این پایان نامه همریختی های جردن طولپا روی جبرهای باناخ مثلثی مورد مطالعه قرار گرفته اند. تحت شرایط مناسب ثابت شده است که هر همریختی جردن طولپا از یک جبر باناخ مثلثی یکدار به جبر باناخ مثلثی یکدار دیگر، همریختی یا پادهمریختی است. هم چنین ما همریختی های −ℓ۱طولپا بین جبرهای باناخ ماتریس های بالا مثلثی و جبرهای باناخ یکدار را بررسی کرده و یک تعمیم از نتیجه ] [۲۵را برای جبرهای باناخ ماتریس های بالا مثلثی از جبرهای اندازه ارائه نموده ایم. سپس نتایج به دست آمده برای مشخصه سازی همریختی های جردن −ℓ۱ طولپا بین جبرهای باناخ بالا مثلثی بر روی جبرهای باناخ به کار رفته اند که در آن جبرهای باناخ، جبر باناخ یکدار جابه جایی یا جبرهای اندازه هستند. در ادامه مرکزساز لی، مشتق های لی و −۲ مشتق های لی تعمیم یافته در حاصل ضرب صفر بر روی جبرهای مثلثی، بدون فرض یکدار بودن را مشخصه سازی نموده ایم. به علاوه، مرکزسازهای لی، مشتق های لی و −۲مشتق های لی تعمیم یافته برای جبرهای مثلثی تشریح شده اند. هم چنین چند مثال برای بررسی مشکلات موجود مربوط به تعمیم مباحث گفته شده را بررسی نموده ایم. سپس نتایج به دست آمده برای جبرهای ماتریس های بالا مثلثی )نه لزوماً یکدار( و جبرهای لانه ای به کار برده شدند. هم چنین نتایج ما تعدادی از نتایج موجود را گسترش داده اند

فرض کنید A‎ یک جبر باناخ و ‎‎$\phi$‎ یک مشخصه روی ‎$A$‎ باشد. کلاس تمامی ‎$A$‎ -مدول های باناخ ‎$X$‎ با اعمال مدولی ‎$a \cdot x = x \cdot a = \phi(a)x $‎ برای هر ‎$a \in A$‎ و‎$x \in X$‎ را با ‎$\smp$‎ نشان می دهیم و به مطالعه ی گروه کوهومولوژی پیوسته ی مرتبه اول و دوم از ‎$A$‎ با ضرایب در ‎$X\in \smp$‎ می پردازیم. سپس، نشان می دهیم ‎$\hhz$‎ برای هر ‎$X\in \smp$‎ معادل با صفر شدن مشتقات نقطه ای روی ‎$A$‎ در ‎$\phi$‎ می باشد. همچنین، شرایطی را شناسایی می کنیم که برای هر ‎$X\in \smp$‎، ‎$\hh=\hhs=\{0\}$‎. در ادامه، شرط لازم که تحت آن ‎$\hhz$‎ و ‎$\hhs$‎ هاسدورف باشد را معرفی می کنیم. ‎\par‎ در قسمت بعدی رساله، میانگین پذیری نسبی جبر های باناخ را معرفی می کنیم. فرض کنید ‎$A$‎ جبر باناخ و ‎$I$‎ ایده آلی بسته از آن باشد. ‎$A$‎ را نسبت به ایده آل ‎$I$‎، ‎\hbox{میانگین پذیر}‎ گوییم اگر جبر باناخ خارج قسمتی ‎$A/I$‎ میانگین پذیر باشد. ابتدا، ساختار میانگین پذیری نسبی جبرهای باناخ را بررسی کرده و به مطالعه ی جبر های باناخ میانگین پذیر نسبی، به ویژه جبرهای باناخ گروهی وابسته به گروه های فشرده ی موضعی می پردازیم. بعلاوه، تلاش می کنیم که برخی از قضایای اساسی شناخته شده ی میانگین پذیری جبر های باناخ را بوسیله ی این مفهوم تعمیم دهیم. بطور مثال، قضیه ی اصلی جانسون را-برای گروه فشرده ی موضعی ‎$G$‎، جبر گروهی ‎$L^1(G)$‎ میانگین پذیر است اگر و تنها اگر ‎$G$‎، میانگین پذیر باشد-بوسیله ی میانگین پذیری نسبی تعمیم می دهیم. همچنین، نشان می دهیم که برای نیم گروه وارون ‎$S$‎ جبر باناخ ‎$\ell^1(S)$‎ ‎\linebreak{میانگین پذیر}‎ نسبی است اگر و تنها اگر ‎$S$‎ میانگین پذیر باشد. همینطور، مثالی از جبر های باناخی ارائه می کنیم که میانگین پذیر نیستند ولی میانگین پذیر نسبی هستند.

در این پایان نامه، مشخصه سازی عناصر مرکزی، یکه ای و نرمال در C*-جبرها با استفاده از شعاع عددی و برد عددی مطالعه می شود.

فرض کنید A جبر (باناخ) ، X یک باناخ A-دومدول وz ∈A بعد از انتخاب ثابت باشد. فرض کنید δ: A⟶X و φ: A ⟶A نگاشت های خطی با شرایط زیر باشند. مشتق در یک نقطه ab=z⟹aδ(b)+δ(a)b=δ(z)؛ پادمشتق در یک نقطه ab=z⟹bδ(a)+δ(b)a=δ(z)؛ مرکزساز در یک نقطه ab=z⟹aφ(b)=φ(a)b=φ(z). در این پایان نامه به تعیین ساختار این نگاشت ها و نیز تعمیم هایی از آن ها همچون مشتق های تعمیم یافته ، مشتق چپ جردن و نگاشت های دوخطی می پردازیم و شرایط موضعی حاصلضربی دیگری مانند ab=ba=z، ab+ba=z، ab^*=z، a^* b=z و ab^*=b^* a=z را برای این مشخصه سازی ها روی کلاس هایی از جبرها مانند *-جبرها، C^*-جبرها، جبرهای استاندارد عملگری و جبرهای لانه ای در نظر گرفته و مطالعه نموده ایم. همچنین نتایجی ساختاری از جبرهای عملگری را نیز به دست آورده ایم.

فرض کنیم A و U جبرهای باناخ و همچنین U یک A -دومدول باناخ با اعمال جبری، اعمال مدولی و نرم سازگار باشد. با تعریف یک ضرب جبری مناسب، l^1-جمع مستقیم A⊕U را به یک جبر باناخ تبدیل کرده به طوری که A یک زیر جبر و U یک ایده آل از آن می باشد. این جبر در واقع ضرب نیمه مستقیم جبرهای باناخ A و Uمی باشد که آن را با نماد A⋉U نشان می دهیم. در این پایان نامه به مطالعه پیوستگی خودکار عملگرهای مشتق روی ضرب نیمه مستقیم جبرهای باناخ در حالت کلی می پردازیم. همچنین گروه کوهمولوژی اول ضرب نیمه مستقیم جبرهای باناخ را بررسی کرده و این گروه ها را تحت شرایطی خاص در حد یکریختی فضاهای برداری تعیین می کنیم. به عنوان کاربردهایی از نتایج خود، نتایج گوناگونی در مورد پیوستگی خودکار مشتق ها و همچنین گروه کوهمولوژی اول ضرب مستقیم جبرهای باناخ، جبرهای باناخ توسیع مدولی و θ-ضرب لائوی جبرهای باناخ به دست می آوریم و نشان می دهیم نتایج قبلی به دست آمده روی این جبرها را می توان به عنوان نتایجی از قضایای روی ضرب های نیمه مستقیم به دست آورد. یکی دیگر از مسائل مورد علاقه ما در این پایان نامه یافتن شرایطی است که تحت آن ها ضرب نیمه مستقیم A⋉U به یک -θضرب لائو یا به یک جبر باناخ مثلثی تبدیل می شود.

در این پایان نامه به مطالعه ی طیف عملگری و برد عددی عملگرهای روی فضاهای هیلبرت می پردازیم. نتایج به دست آمده در مورد رابطه ی برد عددی ترکیب عملگرها با طیف ترکیب عملگرها را مورد بررسی قرار می دهیم.

فرض کنید H فضایی هیلبرت با بعد نا کمتر از 2 باشد Z عملگری در B(H) باشد. در این پایان نامه نگاشت های خطی T: B(H)--> B(H) که در خاصیت زیر صدق می کنند را مطالعه می کنیم: AB=Z ==> T(AB)=T(A)B=AT(B) یا A^2=0 ==>T(A^2)=AT(A)=T(A) که در آن A,B اعضایی از B(H) هستند. همچنین این مطالعه را برای نگاشت های خطی روی جبرهای فون-نویمن انجام داده و ساختار آنها را تعیین می کنیم.

در این پایان نامه جبرهای مشبکه ای و لانه ای را روی هیلبرت ∗C -مدول ها بررسی کرده ایم. بر حسب نیاز زیرمدول های ایده آلی را کاملا̈ مشخصه سازی نموده ایم و مکمل متعامد بودن آن ها را بررسی کرده ایم. سپس به سراغ مشخصه سازی عملگرهای مدولی رفته ایم و جبرهای مهمی که به آن ها نیاز داشتیم را مورد تجزیه و تحلیل قرار داده ایم. سپس به تعریف مشبکه و لانه از زیرمدول های هیلبرت ∗C -مدول ها پرداخته ایم و نهایتاً جبرهای مربوط به آن ها مورد مطالعه قرار گرفته اند. خواص اصلی این جبرها مانند انعکاسی بودن را بررسی کرده ایم. در پایان اولین گروه کوهمولوژی جبرهایی روی هیلبرت ∗C -مدول ها بررسی شده اند.

فرض کنیبد S حلقه ای یکدار که 2 در آن وارون پذیر است. در این پایان نامه ابتدا، برخی ویرژگی های ساختاری حلقه ی کواترنیونی R=H(S) را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس ساختار مشتق ها و دو مشتق های R را مشخص می کنیم. به علاوه نشان می دهیم هر مشتق جردن R، یک مشتق است. همچنین R را به عنوان یک حلقه ی Z_2-مدرج در نظر گرفته و نشان می دهیم هر سوپر دو مشتق R سوپر داخلی است.

در این پایان نامه، به مطالعه فضاهای BMO و همچنین فضاهای VMO و ارتباطی که این دو فضا با هم دارند، می پردازیم. در ادامه با تعریف نرم مناسب روی فضای BMO نشان می دهیم با این نرم کامل بوده و نیز یک فضای پایای کانونی است. همچنین در مورد ضرایب تیلور بسط اینچنین توابعی بحث خواهیم نمود.

در این پایان نامه به بررسی نقش مثال ها و مثال های نقض و بحث در باب تعمیم ها در زمینه تحقیقات ریاضی پرداخته می شود. برای این منظور از ابزار نظریه نقطه ثابت هندسی و بهینه یابی ناهموار استفاده می شود.

در این پایان نامه نگاشت های نگه دارنده معکوس درازین روی فضای عملگرهای کراندار فضایی هیلبرت مورد مطالعه قرار می گیرند. در واقع ساختار چنین نگاشت هایی مشخصه سازی می شوند.

در این پایان نامه ویژگی های مجموعه های 2-نرم دار بیان و دو مجموعه 2-نرم دار از عملگرهای خطی ساخته خواهند شد. همچنین ویژگی های عملگرهای 2-خطی کراندار از یک مجموعه 2-نرم دار به یک فضای نرم دار را مورد بررسی قرار می دهیم و در پایان نیز قضایای باناخ‐اشتاین‐هاوس را برای خانواده ای از عملگر های -2خطی کراندار از یک مجموعه 2-نرم دار به یک فضای باناخ مورد مطالعه قرار می دهیم.

فرض کنید AlgN جبر لانه ای با لانه N روی فضای هیلبرت H باشد. در این پایان نامه تعیین شدن جبرهای لانه ای متناهی توسط حاصلضرب های صفر و حاصلضرب های لی و جردن صفر مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین این خاصیت تحت توپولوژی عملگری قوی در حالت کلی برای حاصلضرب های صفر و حاصلضرب های جردن صفر روی هر جبر لانه ای بررسی می شود.

فرض کنید X یک فضای توپولوژی کاملا" منظم و ( A( X زیر حلقه ای از( C( X شامل (X* (C باشد در این تحقیق تناظر Z_A بین اید الهای ( A( X و z- فیلترهای روی X مورد بررسی قرار گرفته و نشان داده شده که Z_A توسیع تناظر E بین ایده الهای (X* (C و z- فیلترهای روی X است. همچنین تناظر z_A بین ایده ال ها و z- فیلترهای ( A( X معرفی و نشان داده شده که z_A توسیع تناظر Z بین ایده ال های ( C( X و z- فیلترهای روی X است و z_A هر ایده ال ماکسیمال را به یک z- فیلتر مشمول در z- ابر فیلتر منحصر بفرد می نگارد.

معکوس درازین برای اولین بار در سال 1958 معرفی گردید. در این پایان نامه نمایشی از معکوس درازین ماتریسهای بلوکی که درایه ( 2،2) آنها صفر است بررسی می شود. همچنین معکوس درازین تعمیمم یافته این نوع ماتریسهای بلوکی با توجه به خودتوانی طیفی و شبه قطبی بلوکهای آن مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه، با استفاده از روش های آنالیز غیرخطی و توبری های جدید، یک قضیه ارگودیک غیرخطی را برای یک خانواده جابجایی از نگاشت های به طور مثبت همگن و غیرانبساطی در یک فضای باناخ به طور یکنواخت محدب اثبات میکنیم.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی برخی خواص فضای هاردی می پردازیم. سپس نیم گروههای عملگرهای ترکیب در فضای هاردی القا شده توسط نیم گروههای عملگرهای تحلیلی در نیم صفحه ی بالایی صفحه ی مختلط را معرفی ونرم آنها را محاسبه می کنیم. نهایتا رابطه ای بدست می آورییم بین مولدهای بی نهایت کوچک نیم گروه های عملگرهای تحلیلی و مولدهای بی نهایت کوچک نیم گروه های ترکیب وقتی که نیم گروه های مذکور پیوسته ی قوی هستند.

در این پایان نامه نگاشت های خطی نگهدارنده بعد فضای نقاط ثابت حاصلضرب عملگرها روی فضای عملگرهای B(X) که در آن X فضایی باناخ است، مطالعه می شود و به مشخصه سازی آنها پرداخته می شود.

در این پایان نامه تعمیم جدیدی از نظریه قاب ها روی فضاهای باناخ مطالعه می شود، که قاب هیلبرت-شودر نامیده می شود و این تعمیم با استفاده از عملگرهای قاب و عملگرهای مثبت انجام می شود. سپس نتایجی در مورد این قاب ها و ارتباط آنها با ساختار فضاهای باناخ به دست می آید.

جبر باناخ (C(X برای هر فضای هاوسدورف فشرده X جبر باناخ میانگین پذیر است. در این پایان نامه اثباتͬی جدید بر اساس ساختار قطر تقریبی کراندار برای میانگین پذیری ( C(X مطالعه مͬی شود وقتͬی که X فضای فشرده است. همچنین ویژگͬی میانگین پذیری جبر باناخ ( C(X, A متشکل از توابع پیوسته با مقادیر در جبر باناخ A را بررسͬی مͬی کنیم . میانگین پذیری ضعیف ( C(X, A را برای A جابجایی در نظر مͬی گیریم.

فرض کنید R و S دو حلقه ی یکدار M یک دو مدول یکانی، و T حلقه ی بالا مثلثی تولید شده توسط آنها باشد.در این پایان نامه ساختار دومشتق حلقه ی T را مشخص کرده نشان میدهیم که هر دو مشتق به مجموع سه دو مشتق ویژه تجزیه میشود. سپس، ساختار حلقه های بالا مثلثی n در n روی بعضی حلقه های متناهی بدست میآوریم.

در این پایان نامه فضای 2-متریک را مورد بررسی قرار می دهیم و وجود نقطه ثابت یا خط ثابت برای نگاشت های انقباضی روی این فضاها را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه،به بررسی فضاهای باناخ وزنی از توابع تحلیلی روی گوی یکه باز در صفحه مختلط n بعدی می پردازیم. بالاخص دو تصویر کراندار از فضای توابع اساسا کراندار و فضای توابع انتگرال پذیر به دو فضای وزنی مختلف تعریف می کنیم. سپس با استفاده از این تصویر ها فضاهای مورد نظر را به حاصل جمع های مستقیم تجزیه می کنیم.

در این پایان نامه، پاسخی مثبت به حالت خاصی از مساله آیوپتیت خواهیم داد که خود ریشه در مساله کاپلانسکی دارد و به صورت زیر مطرح شده است : "آیا یک نگاشت خطی حافظ طیف دو سویی بین دو جبر باناخ نیم ساده یکدار لزوما یک همریختی جردن است؟" پاسخی مثبت به این سوال را، در قالبی به دست می آوریم که یکی از این دو جبر باناخ، دلخواه است و دیگری شامل مجموعه ای از ماتریس های دو در دو است، که با (M_{2}(A نمایش می دهیم، که A یک جبر باناخ نیم ساده یکدار است. در واقع ثابت می کنیم که اگر A و B دو جبر باناخ نیم ساده یکدار باشند و phi : M_{2}(A)------ B\ یک نگاشت خطی حافظ طیف دو سویی باشد ، آنگاه phi\ یک همریختی جردن است.

یکی از نظریه مورد علاقه ریاضیدانان جهت تحقیق و مطالعه در گرایش آنالیز هارمونیک، نظریه میانگین پذیری جبرهای باناخ است. در این پایان نامه به مطالعه میانگین پذیری مشخصه ای روی جبرهای باناخ می پردازیم و ارتباط بین میانگین پذیری مشخصه ای و میانگین پذیری جبرهای باناخ را بیان می کنیم . در ادامه به بررسی ویژگی های میانگین پذیری مشخصه ای می پردازیم و خواص موروثی از میانگین پذیری مشخصه ای جبرهای باناخ روی ایده الها و فضاهای خارج قسمتی را مطالعه می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه مشخصه سازی عملگرهای دوخطی روی جبرهای باناخ می پردازیم، زیرا بررسی شرایطی جهت مشخصه سازی نگاشت های خطی به طور موثر، با در نظر گرفتن نگاشت های دو خطی که روی ضرب های خاصی عمل می کنند، امکان پذیر است. و نیز به عنوان نتایج و کاربردی از مطالب گفته شده به تعمیم مشخصه سازی ها روی فضاهای باناخ خاص و فضاهای شبکه ای، که روی رده ای معین از ضرب ها عمل می کنند، می پردازیم.

در سال 1972 آلفسن و افراس برای اولین بار مفهوم M-ایده آل را برای فضاهای باناخ تعریف کردند. در این پایان نامه ابتدا به بررسی مفهوم M-ایده آل می پردازیم وسپس مثال هایی از M-ایده آل ها در فضاهای باناخ مختلف را بررسی می کنیم. در ادامه کار محک هایی را برای شناسایی M-ایده آل ها معرفی می کنیم. تمرکز اصلی ما روی این مطلب قرار دارد که چه نگاشت هایی حافظ M-ایده آل هستند و مشاهده می شود که یکریختی های حافظ M-ایده آل لزوما طولپا نیستند. قضیه باناخ-استون مطب دیگری است که مورد مطالعه قرار می دهیم. این قضیه بیان می کند که اگر بین فضای توابع پیوسته دو فضای هاوسدورف فشرده مانندX وY یکریختی طولپا وجود داشته باشد آنگاه X وY با یکدیگر همانریختند. ما با استفاده از نگاشت های حافظ M-ایده آل صورتی از قضیه باناخ-استون را بیان می کنیم که در آن یکریختی بین فضای توابع پیوسته لزوما طولپا نیست.

در این پایان نامه رابطه بین عناصر جبری باناخ نیم ساده مانند A، که در برخی شرایط طیفی صدق می کنند را مورد بررسی قرار می دهیم. به عنوان کاربردی از نتایج به دست آمده چند مشخصه ی طیفی از نگاشت های ضربی را به دست خواهیم آورد.

در این پایان نامه می خواهیم فضای باناخی پیدا کنیم که هر دو خاصیت شور و داوگات را داشته باشد. برای این منظور یک فضای باناخ بدون خاصیت رادون نیکودیم را در نظر می گیریم، ثابت می کنیم که یک اصلاح جزئی در ساختار بورگین-روزنتال چنین فضای باناخی ،یک فضای باناخ با خاصیت شور و داوگات را بوجود می آورد. با استفاده از این مطلب می توان به برخی سوالات پاسخ داد. در حالت خاص می بینیم که خاصیت داوگات تحت فراضرب ها پایدار نمی ماند.

بررسی مفاهیم مختلفی از میانگین پذیری روی جبرهای باناخ و بررسی ویژگیهای میانگین پذیری، میانگین پذیری ضعیف و میانگین پذیری تقریبی و بررسی رابطه بین میانگین پذیری، میانگین پذیری ضعیف و میانگین پذیری تقریبی.

در این پایان نامه برای رده خاصی از جبرهای عملگری نشان می دهیم که هر نگاشت مشتق پذیر در خودتوان غیر بدیهی، یک نگاشت مشتق است و نتایجی را در مورد جبرهای لانه ای و جبرهای عملگری استاندارد به دست می آوریم. سپس برای جبرهای لانه ای نشان می دهیم که هر نگاشت مشتق پذیر چپ در خودتوان غیر بدیهی یک مشتق چپ جردن است و نتایجی را در این راستا ارایه می دهیم.

در این پایان نامه، رفتار مجانبی نگاشت های غیرانبساطی در شرایط مختلف مورد بررسی قرار میگیرد. مفاهیم مربوط به انواع همگرایی های این دنباله ها که توسط پازی و کولبرگ و ... بررسی شده است را بیان و ارتباط آنها را در فضاهای هیلبرت و نرمدار مورد مطالعه قرار مید هیم.

در این پایان نامه، پس از بررسی میانگین پذیری چپ قوی روی نیمگروهها، ساختار نیمگروه های میانگین پذیری چپ قوی مورد مطالعه قرار گرفته و به طبقه بندی نیمگروه های میانگین پذیر و ارتباط بین آنها در شرایط مختلف پرداخته می شود.

این پایان نامه با رویکرد شناساندن و گسترش اعضایی بنام قاب ها، که آنها را تعمیم پایه های یک فضای هیلبرت می دانیم، شکل می گیرد. عملگرهای تجزیه، ترکیب، و قاب را به عنوان ابزارهای توانمندی در شناسایی این اعضا معرفی می کنیم. جمع قاب های یک فضای هیلبرت را مورد مطالعه و بررسی قرار داده و شرایطی را بیان می کنیم که تحت آنها جمع چند قاب یک فضا، خود قابی برای آن فضا باشد. بالاخص، جمع قاب های گابور و جمع دنباله های B-بسل را بررسی خواهیم کرد. همچنین به مبحث قاب های زیرفضایی می پردازیم و نشان می دهیم که قاب های زیرفضایی در واقع تحدید تعریف قاب در فضاهای بزرگتر به زیرفضاهای یک فضا می باشند.

فرض کنیدA و B دو * C-جبر باشند و X یک باناخ A - دو مدول اساسی باشد و همچنین T:A--> X و S:A--> X نگاشت های خطی پیوسته باشند که T پوشاست. اگر برای هر a,b که ab=ba=0 داشته باشیم T(a)T(b)+T(b)T(a)=0 و S(a)b+bS(a)+aS(b)+S(b)a=0 ساختارTو S را مطالعه می کنیم و با استفاده از آن ساختار همریختی های جردن و مشتق های جردن را مشخص می سازیم.

در این پایان نامه، مفهوم ϕ- میانگین پذیری جبرهای باناخ را معرفی کرده و شرایط معادل با این مفهوم، ویژگیهای موروثی و بعضی خواص آن را بیان میکنیم. در ادامه میانگین پذیری ضعیف و n- میانگین پذیری ضعیف را بررسی کرده و در پایان با در نظر گرفتن این دو مفهوم، تعمیمی از میانگین پذیری ضعیف بنام (ϕ،ψ)- میانگین پذیری ضعیف را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه نشان خواهیم داد: 1. d یک (\alpha,\beta)- مشتق جردن \tau است؛ 2. d یک (\alpha,\beta)- مشتق جردن سه گانه یی \tau است؛ 3. d یک (\alpha,\beta)- مشتق \tau است؛ سپس تعمیمی از این نتایج را ارائه خواهیم داد.

در این پایان نامه توجه خود را به برد مشتق هایی خاص روی جبرهای باناخ معطوف نموده و حدس سینگر-ورمر را برای این رده از مشتق ها یعنی مشتق های درونی و تعمیم یافته می ازماییم و شرایطی را مورد بررسی قرار می دهیم که تحت آنها این حدس برقرار باشد.

یک دسته از فضاهای تابعی باناخ (انهایی که در خاصیت فاتو صدق می کنند) را در نظر می گیریم و معکوس قضیه کمولوس در فضای باناخ را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین تعمیم قضیه کمولوس در فضاهای تابعی باناخ که در خاصیت فاتو صدق می کنند و انتگرال پذیر متناهی هستند یا انتگرال پذیر ضعیف هستند را مطالعه می کنیم.

اگر A یک جبرباناخ یکدار و M یک A- دو مدول یکانی باشدو اگر T یک نگاشت خطی از A به توی M باشد که برای هر a و b در A که ab=c داشته باشیم ( T(ab)=T(a)b+aT(b در این صورت c را یک نقطه جدایی پذیر راست یا چپ M می باشد آنگاه T یک مشتق جردن است . نشان می دهیم که هر نگاشت از A به توی یک جبر باناخ یکدار B که در رابطه ی( T(ab)=T(a)T(b برای هر a و b در A با خاصیت ab=cصدق کند یک همومورفیسم جردن است اگر (T(c یک نقطه ی جدایی پذیر B باشد.

یکی از موضوعات مورد توجه در ارتباط با جبرها مفهوم مشتق پذیری می باشد. جدیدا به کلاسهای متفاوت این مشتقات مانند مشتق جردن و مشتق در نقاط ثابت پرداخته شده است. هر نگاشت مشتق، مشتق جردن و همچنین مشتق پذیر در هر نقطه است. یکی از علا قمندی های ریاضی دانان بخصوص در شاخه های جبر و انالیز بررسی عکس این مطلب است. در این پایان نامه هدف پرداختن به نگاشتهای مشتق پذیر در نقاط ثابت و بررسی شرایطی که به مشتقات جردن و نگاشتهای مشتق تبدیل می شوند، می باشد.

فرض کنید A یک زیر جبر با عملگری واحد I در ( B(H باشد. گوییم نگاشت خطی p از A به توی حودش یک نگاشت مشتق پذیر در I است هرگاه ( P(S)P(T)= P(ST برای هر T, S در A با خاصیت ST=I . در این پایان نامه نشان داده می شود که هر نگاشت مشتق پذیر با توپولوژی عملگری قوی در I روی جبر لانه ای algN یک مشتق داخلی است.

یکی از مسایل بنیادی در مورد جبرهای باناخ تعیین گروه کوهمولوژی اول آن با ضرایب در یک مدول می باشد. به ویژه اینکه چه موقع گروه کوهمولوژی صفر است. برای بررسی گروه کوهمولوژی اول یک جبر باناخ با ضرایب در یک مدول و تعمیم های آن اغلب لازم است هر مشتق پیوسته از یک جبر باناخ به هر مدول آن را به مشتق دیگری از یک جبر باناخ که پوششی برای جبر باناخ اول است، توسیع دهیم. در این پایان نامه مفهوم مرکزساز دوگانه روی مدول ها را بررسی می کنیم. سپس، جبر مرکزسازهای دوگانه یک مدول را به عنوان توسیع آن در نظر می گیریم. با استفاده از این توسیع راه حل های کوتاهتر و ساده تری برای برخی قضایای میانگین پذیری، میانگین پذیری ضعیف و میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ ارایه می دهیم.

در این تخقیق فرض می شود N یک لانه روی فضای باناخ X باشد و AlgN یک جبر لانه ای باشد. نشان داده می شود اگر یک عنصر غیر بدیهی در N موجود باشد به طوری که در X تکمیل شده باشد، آنگاه هر مشتق جردن تعمیم یافته جمعی از AlgN به خودش یک مشتق تعمیم یافته جمعی است. علاوه بر این شاحصی از مشتق های جردن تعمیم یافته خطی از جبرهای لانه ای روی فضای هیلبرت جدایی پذیر مختلط ارایه می شود.

فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و (B(H جبر همه عملگرهای خطی کراندار روی H باشد. در این پایان نامه نشان خواهیم داد که اگر H یک فضای هیلبرت نا متناهی بعد باشد آنگاه صفر یک نقطه کاملاً مشتق پذیر جردن تعمیم یافته در (B(H است. همچنین نشان می دهیم برای هر فضای هیلبرت H ، عملگر همانی I یک نقطه کاملاً مشتق پذیر جردن در (B(H است. در ادامه نقاط کاملاً مشتق پذیر را در جبرهای لانه ای روی یک فضای هیلبرت H بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، وجود نقطه ثابت برای چندین نمونه از نگاشت های ( نگاشت های مرکزپذیر، نگاست های غیر انبساطی و نگاشت های مجانبا غیر انبساطی) تعریف شده روی زیرمجموعه های محدب بسته از فضاهای باناخ که در بعضی شرایط پروکسیمال صدق می کنند را بحث خواهیم کرد.

هراشتاین نشان داد که هر مشتق جردن روی حلقه ای که از مشخصه ی 2 نباشد، یک مشتق است. بعد ها این نتیجه روی حلقه های نیمه اول نیز تعمیم یافت. یکی دیگر از تعمیم ها نگاشت مشتق پذیر در یک نقطه و نقاط کاملآ مشتق پذیر می باشد . در این پایان نامه ساختار مشتق و مشتق جردن روی جبرهای باناخ مورد بررسی قرار میگیرد.

چنانچه R و S دو حلقه ی یکدار M یک دو مدول یکانی باشد. در این پایان نامه ابتدا ساختار ایده آلها، شرایط زنجیری، همسانیها، و مشتقهای حلقه ی ماتریس بالا مثلثی تشکیل شده را تعیین نموده، سپس نمایشی مثلثی برای حلقه ی چندجماهایهی دیفرانسیلی متناظر را ارائه خواهیم نمود.