امیر مافی

در این پایان نامه، با الهام از مفهوم گراف های کنیگ، ایده آل های مدرج از نوع کنیگ را با رجوع به مرتبه یک تک جمله ای > معرفی می کنیم. نشان داده شده است که اگر I یک ایده آل از نوع کنیگ باشد، آنگاه ویژگی کوهن-مکالی (I<(in بستگی به مشخصه میدان پایه ندارد. این اتفاق برای خود I، وقتی I یک ایده آل یالی دوجمله ای است نیز صدق می کند. وابسته به یک ایده آل از نوع کنیگ، دنباله ای از فرم های خطی است که عناصر آن متغیرها یا تفاضل هایی از متغیرها هستند. این دنباله سیستمی از پارامترها برای (I<(in است و یک سیستم بالقوه از پارامترها برای خود I است. ایده آل های از نوع کنیگ را در میان ایده آل های یالی، ایده آل های یالی دوجمله ای و ایده آل چنبره ای از حلقه هی بی را مورد مطالعه قرار می دهیم و از ویژگی کنیگ برای تعیین صریح مدول متعارف(کانونی) آن ها استفاده می کنیم.

وان ایده آل های یالͬ خالͬ از مربع ارتباط نزدیͺͬ با تطابق گراف زیرین دارند. در این مقاله ما کران هایی را برای عدد نظمͬ توان ایده آل های یالͬ خالͬ از مربع ارائه مͬ دهیم و ما این سوال را در نظر مͬ گیریم که چه زمانͬ چنین توان هایی به صورت وابسته خطͬ هستند یا توان هم بافت خطͬ دارند. ما همچنین ویژگͬ های خالͬ از مربع راتلیف را در نظر مͬ گیریم.

$V=\{x_1,\dots,x_n,y_1,\ldots,y_m\}$. و $ k $ میدان و $R=k[x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m]$ یک حلقه چندجمله‌ای روی میدان $ k $ باشد. فرض کنید $ I=I(G) $ یک ایده‌آل یالی $ R $ متناظر با گراف $ G $ است.گراف $ G $ کوهن‌مکالی دنباله‌ای دوگانه است اگر $R/I$ کوهن‌مکالی دنباله‌ای دوگانه باشد. در این رساله گراف‌های دوبخشی کوهن‌مکالی دنباله‌ای دوگانه را مورد مطالعه قرار می‌دهیم و درخت‌های کوهن‌مکالی دنباله‌ای دوگانه را طبقه‌بندی کردیم. همچنین، اگر $ R/I $ کوهن‌مکالی دنباله‌ای دوگانه باشد آنگاه می‌توانیم بعد‌پروژکتیو $ R/I $ تعیین کنیم.\\ در ادامه، فرض کنید $ R $ حلقه‌ای ناجابجایی یکدار باشد. گراف جابجاگر $ R $ که آن را با $ \Gamma(R) $ نشان می‌دهیم، گرافی با مجموعه راس‌های $ R\setminus Z(R) $ است، و دو راس $ a $ و $ b $ مجاور هستند، اگر $ a\neq b $ و $ ab=ba $ باشد. فرض کنید $ T=Tr(R) $ حلقه‌ی همه‌ی ماتریس‌های بالامثلثی $ 2\times 2 $ روی $ R $ و $ \Gamma(T) $ گراف جابجاگر $ T $ باشد. در فصل سوم این رساله، تعداد یال‌ها، کلیک‌ها، عدد کلیک و عدد استقلال گراف جابجاگر $ T $ را وقتی $ R $ میدان متناهی است، پیدا می‌کنیم. به علاوه نشان می‌دهیم در حالتی که $ R=\mathbb{Z}_{n} $ میدان نباشد، $ \Gamma(T) $ همبند و $. diam\Gamma (T)=3 $ همچنین نتایج مفیدی به دست آورده و مثال‌هایی بیان می‌شود. در پایان سوالی مطرح می‌شود.

فرض کنیم [Xn ..., ۱,X[K = R حلقه ی چندجمله ای ها با n متغیر روی میدان K باشد و فرض کنیم I یک ایده آل مترویدال ازدرجه ی d در R باشد. هدف اصلی ما بررسی این موضوع است که ایده ال مترویدال چه موقع دارای خاصیت کوهن-مکالی زنجیری می شود و دسته ی همه ی ایده آل های مترویدال کوهن-مکالی زنجیری مورد مطالعه قرار می گیرد و درحالت خاص همه ی ایده آل های مترویدال کوهن- مکالی زنجیری ازدرجه ی دو دسته بندی می شود. علاوه براین دسته بندی ای از ایده آل های مترویدال کوهن-مکالی زنجیری از درجه ی ۳ ≤ d در چندین حالت خاص ارائه می شود. در ادامه، فرض کنیم R حلقه ای ناجابجایی با عضو همانی باشد. گراف عناصر جابجایی R که آن را با (R(Γ نمایش می دهیم، گرافی با مجموعه راس های (R(Z \ R است که (R(Z مرکز حلقه است و دو راس a و b مجاور هستند، هرگاه b= ̸ a و ba = ab باشد. فرض کنیم (R(r T = T حلقه ی همه ی ماتریس های بالامثلثی ۲ × ۲ روی R باشد و (T(Γ گراف عناصر جابجایی T باشد. در فصل آخر رساله، تعداد یال ها، کلیک ها، عدد کلیک و عدد استقلال گراف عناصر جابجایی T را وقتی R میدان متناهی است، محاسبه می کنیم. به علاوه نشان می دهیم در حالتی که Zn = R میدان نباشد، (T(Γ همبند و قطر آن برابر 3 است. همچنین نتایجی به دست آورده و مثال هایی ارائه داده می شود. در پایان نیز به طرح سوالی در این زمینه پرداخته شده است.

در این تحقیق، ما (حد بالایی از منظم بودن قدرت لبه ایده آل) را مطالعه می کنیم که با reg I (G) S انواع مختلف نمودار و ویژگی آن ها مشخص می شود؛ نمودار ساده، نمودار وترال، هایپرگراف. علاوه بر این، تعمیم بسیاری از حقایق شناخته شده در مورد نمودارهایی که نظم ایده آل های مربوط به آن را حفظ می کنند. علاوه بر این، ما مفاهیم زیادی از نظم ایده آل لبه یک نمودار ارائه می دهیم G حداکثر یک عدد بزرگتر از عدد G که به منظم بودن قدرت ایده در این پایان نامه ما به طور کلی این نتیجه را به دست آوردیم که هر ایده تک جمله ای بدون مربع ارائه می دهیم. ما یک کولاژ 2 را در یک هایپرگراف ساده مجموعه ای از لبه ها با ویژگی تعریف می کنیم که برای هر لبه E هایرگراف ، نظم Castelnuovo-Mumford از لبه ایده آل یک هایپرگراف ساده در بالا با چند برابر حداقل محدود می شود اندازه یک کولاژ 2 تایی ما همچنین یک فرمول بازگشتی برای محاسبه منظم بودن یک هیپرگراف قابل تجزیه راس ارائه می دهیم. وقتی G یک جنگل یا یک چرخه است ، ما به طور صریح منظم بودن Is را برای همه s> 1 محاسبه می کنیم. به طور خاص ، برای این دسته از نمودارها ، تابع خطی مجانبی reg (Is) به صورت s >> 0 و مقدار اولیه را ارائه می دهیم. مقدار s از جایی شروع می شود که reg (Is) به شکل خطی خود می رسد. در نهایت ، ما همچنین محدودیت های جدیدی را در مورد منظم بودن I هنگامی که G شامل یک مسیر همیلتونی است و زمانی که G یک نمودار همیلتونی است ، ارائه می دهیم.

در این پایان نامه رابطه ی بین عمق ‎\LTRfootnote{depht}‎ و منظم بودن ‎\LTRfootnote{regularity}‎ ایده آل همگن ‎$ I $‎، ‎$ ( I‎ , ‎f ) $‎ و ‎$ I‎ : ‎f $‎ که ‎$ f $‎ یک اولیه ی خطی است را بررسی می کنیم. نتایج ها تاثیرات جالب بسیاری روی عمق و منظم بودن ایده آل های یال هایپرگراف و توان های ایده آل ها دارد.

فرض کنیم $R=K[x_1,\ldots,x_n]$ حلقه ی چندجمله ای ها روی میدان $K$ با $n$ متغیر و ایده آل ماکسیمال $\frak{m}=(x_1,\ldots,x_n)$ و $I$ یک ایده آل مدرج از $R$ باشد. فرض کنیم $\astab(I)$ و $\dstab(I)$ به ترتیب کوچکترین عدد $n$ باشند که $\Ass(I^n)$ و $\depth(I^n)$ ایستا هستند. در این رساله نشان می دهیم که در حالت های زیر $\astab(I)=\dstab(I)$. \begin{itemize} \item[1.] $I$ یک ایده آل ماترویدال است و $n\leq 5$. \item[2.] $I$ یک ایده آل پلی ماترویدال است، $n=4$ و $\frak{m}\notin\Ass^{\infty}(I)$. \item[3.] $I$ یک ایده آل پلی ماترویدال از درجه ی $2$ است. \end{itemize} علاوه براین، یک مثال از ایده آل های پلی ماترویدال به دست می آوریم که $\astab(I)\neq\dstab(I)$. سپس مفهوم عدد اشباع $\sat(I)$، کوچکترین عدد نامنفی $k$ به طوری که $I:\mm^{k+1}= I:\mm^k$ را یادآوری می کنیم. نشان می دهیم $f(k)=\sat(I^k)$ به طور خطی کراندار است و اگر $I$ یک ایده آل تک جمله ای باشد که همه ی توان های آن تحلیل خطی دارند، آن گاه برای $k\gg 0$، $f(k)$ تابعی شبه- خطی است. در ادامه نشان می دهیم اگر $I$ یک ایده آل بورل اصلی باشد، آن گاه $\sat(I^k)=k$ و ثابت می کنیم برای $I_{d,n}$، ایده آل خالی از مربع ورونزه تولید شده از درجه ی $d$، $\sat(I_{d,n}^k) =\max\{l:\; (kd-l)/(k-l) \leq n,~~l\leq k\}$.

فرض کنید $(A,\mathfrak{m})$ حلقه ای شبه موضعی، جابجایی، یکدار با میدان مانده ای نامتناهی، $M$ یک $A$-مدول آرتینی و $\kdim M=d$. همچنین فرض کنید $I$ ایده آلی از حلقۀ $A$ باشد به طوری که $\lambda(0:_MI)<\infty$. در این رساله نشان می دهیم که برای تحویل مینیمال $J$ از $I$ وابسته به $M$، $(0:_MJI)=(0:_MI^2)$ اگر و تنها اگر برای هر $n\geq 0$ $$\lambda(0:_MI^{n+1})=\binom{n+d}{d}\lambda(0:_MJ)-\binom{n+d-1}{d-1}\lambda (\dfrac{0:_MJ}{0:_MI}).$$ به علاوه دوگان نامساوی بِرچ را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم در حالتی که $G(I,M)$ هم-کوهن مکالی باشد، نامساوی مذکور به تساوی تبدیل می شود. همچنین برای هر $1\leq i\leq d$ دوگان ضرایب هیلبرت $\acute{e}_i(I,M)$ از ایده آل $I$ وابسته به مدول آرتینی $M$ را بررسی می کنیم، اثباتی از دوگان نامساوی هوکابا-مارلی ارائه داده و نتایجی از آن را بیان می کنیم.

فرض کنید $(R,m)$ یک حلق کوهن-مکالی از بعد $d$ , $I$ یک ایده ال $m$- اولیه باشد. در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر $I$ ایده ال بستار صحیح و $(J=(x_n,...,x_1$ باشد، آنگاه عبارت های زیر با هم معادل هستند $(i)$ $P_I(n)=H_I(n)$ for $n=1,2$; $(ii)$ $P_I(n)=H_I(n)$ for all $n\geq 1$; $(iii)$ $I^3=JI^2$. Moreover if $\Dim R=3$, $n(I)\leq 1$ and $\grade gr_I(R)_+>0$, then the reduction number $r(I)$ is independent.

فرض کنید $R=K[x_1,x_2, ... ,x_n]$ حلقه ی چند جمله ای $n$ متغیره روی میدان $K$ باشد. ایده آل مترویدال $I$، یک ایده آل تک جمله ای خالی از مربع در $R$ است که مولد های مینیمال آن در شرط معاوضه ای زیر صدق می کند. یعنی، برای هر $ u=x_{1}^{a_1}... x_{n}^{a_n}$ و $ v=x_{1}^{b_1}... x_{n}^{b_n}$ عضو $G(I)$ اگر برای یک $i$، $a_{i} > b_{i}$ آنگاه یک $j$ وجود دارد که $a_{i} < b_{i}$ و $x_{j}u/ x_{i} \in G(I)$ در این پایانامه روابط بین شاخص خارج قسمتی خطی، درجه ، ارتفاع و بعد حسابی یک ایده آل مترویدال را بررسی می کنیم.

فرض کنید $K$ یک میدان و $I$ یک ایده آل تک جمله ای از حلقه ی چندجمله ای های $ S = K[x_1, \cdots, x_n] $ تولید شده توسط تک جمله ای های $ x_1, \cdots, x_t $ باشد.\\ موضعی سازی های تک جمله ای از ایده آل های تک جمله ای را در نظر می گیریم. حدس می زنیم که یک ایده آل تک جمله ای پلی ماترویدآل است اگر و تنها اگر همه ی موضعی سازی - های تک جمله ای آن, تحلیل خطی داشته باشند. این حدس برای ایده آل های تک جمله - ای خالی از مربع درست است. ما حدسمان را برای چندین حالت خاص دیگر ثابت می کنیم. همچنین مفهوم ایده آل های مولفه ای پلی ماترویدآل را معرفی می کنیم و برقراری چندین خاصیت پلی ماترویدآل ها را برای این کلاس جدید از ایده آل ها بررسی می کنیم.

این رساله به بررسی رده ای از مدول های نوتری به نام مدول های تقریباً کوهن-مکالی می پردازد. همچنین شرط نوعی سر مورد بررسی قرار می گیرد. و این دو رده با هم مقایسه می شوند.

فرض کنید ‎$S=K[x_1,\ldots,x_n]$‎ حلقه ٔ چند جمله ای روی میدان ‎$K$‎، و ‎$I\subset S$‎ یک ایده ال مدرج باشد. در این نوشتار نشان می دهیم که ضرایب هیلبرت بازگشتی مرتبه ٔ بالاتر ‎$S$-‎مدول های ‎$\Tor_i^S(M,I^k)$‎ و ‎$\Ext^i_S(M,I^k)$‎ چند جمله ای هایی بر حسب ‎$k$‎ هستند. همچنین کران بالایی را برای درجه ٔ این چند جمله ای ها ارائه می کنیم. ما این نتایج را با در نظر گرفتن مدول های دومدرج مناسبی به دست می آوریم. در ادامه، نشان می دهیم که برای هر ‎$k \gg0$‎، عدد قیاسی ‎$I^k$‎ دارای یک کران بالای تابع خطی بر حسب ‎$k$‎ است و در حالتی که ‎$I$‎ توسط عناصری از یک درجه تولید شود، عدد قیاسی ‎$I^k$‎ یک تابع خطی برحسب ‎$k$‎ است. با استفاده از رابطه ٔ بین ‎$h$-‎بردار و ضرایب هیلبرت بازگشتی مرتبه ٔ بالاتر ‎$I^k$‎، ‎$e_i(I^k)$‎، نشان می دهیم که اگر ‎$I$‎ توسط عناصری از یک درجه تولید شود، آنگاه برای ‎$k \gg 0$‎، ‎$e_i(I^k)$‎ چند جمله ای بر حسب ‎$k$‎ است.

در این پایان نامه به بررسی ساختار مشتق و دو مشتق از توسیع های بدیهی می پردازیم و با کمک آن مشتق و دو مشتق حلقه ماتریس های بالا مثلثی را مورد مطالعه قرار داده و بعضی نتایج مربوط به آن ها را نیز به دست می آوریم.

‎\thispagestyle{empty}‎ ‎\quad‎ فرض کنید ‎$R$‎ یک حلقه جابه جایی و ‎$M$‎ یک ‎$R$-‎مدول باشد. ‎$R(M)=R_{(+)}M$‎ با جمع و ضرب تعریف شده به صورت: ‎\begin{align*}‎ ‎(r_{1}‎, ‎m_{1})‎ + ‎(r_{2}‎ , ‎m_{2}) &= (r_{1}+r_{2}‎ , ‎m_{1}‎ + ‎m_{2})~~~~~~~~\forall r\in R‎ , ‎m\in M\\‎ ‎(r_{1}‎ , ‎m_{1}) (r_{2}‎ , ‎m_{2}) &= (r_{1}r_{2}‎ , ‎r_{1} m_{2}‎ + ‎r_{2}m_{1})‎ ‎\end{align*}‎ یک حلقه جابه جایی و یکدار است که آن را ایده آل سازی ‎$M$‎ می نامیم. این نام در واقع از اینجا ناشی می شود که زیر مدول های ‎$M$‎ همان ایده آل های حلقه ‎$R(M)$‎ هستند. به طور دقیق تر اگر ‎$N$‎ زیر مدول ‎$M$‎ باشد، ‎$0_{(+)}N$‎ ایده آل حلقه ‎$R_{(+)}M$‎ است. هدف از ایده آل سازی قرار دادن ‎$M$‎ در حلقه جابه جایی ‎$A$‎ که ساختار ‎$M$‎ به عنوان ‎$R$-‎مدول به طور ضروری شبیه ‎$M$‎ای است که به عنوان ‎$A$-‎مدول استفاده می شود، یعنی ایده آلی از ‎$A$‎ است. در این پایان نامه ارتباط بین زیرمدول های ‎$M$‎ و ایده آل های ‎$R(M)$‎ را بررسی می کنیم.

فرض کنید R یک حلقه و \sigma یک خودریختی R باشد. ایده آل I در حلقه ی R را \sigma-ایده آل می نامیم اگر \sigma(I)=I. ایده آل محض P از R را \sigma-او می نامیم اگر P یک \sigma-ایده آل R باشد و به ازای هر دو \sigma-ایده آل I و J از P، IJ\subseteq P ایجاب کند که I\subseteq P یا J\subseteq P.

همه حلقه ها جابجایی و همه ی مدول ها یکانی هستند. اندرسون ثابت کرد که زیر مدول N از R-مدول M ضربی است اگر و تنها اگر N(+)0 ایده آل ضربی از R(M) باشد. در این پایان نامه عمدتا به ابزار ایده آل سازی مدول ها به ویژه در زمینه مدول های ضربی، تعمیم قضیه اندرسون و وضعیت آن ها تحت شعاع ایده آل سازی از ایده آل ها و برخی زیر مدوال های وابسته به یک مدول می پردازیم.

\textbf{\large{چکیده}} \indent ~فرض کنید $ R $ یک حلقه تعویض پذیر و $ Nil(R) $ مجموعه عناصر پوچ توان $ R $ باشد. بدیهی است که $ Nil(R) $ ایده آلی از $ R $ است. فرض کنید $ Z(R) $ مجموعه مقسوم علیه های صفر $ R $ و $ Reg(R) $ مجموعه عضوهای منظم $ R $ باشد. در این پایان نامه گراف کلی $ R $ را که با $ T(\Gamma (R)) $ نشان داده می شود, معرفی و بررسی می کنیم. گراف کلی $ R $ یک گراف غیر جهت دار است با راس های $ Z(R)^{\ast}:=Z(R)\backslash \left\lbrace{0}\right\rbrace $ و دو راس متمایز $ x $ و $ y $ مجاورند اگر و تنها اگر $ x+y\in Z(R) $. همچنین, $ Nil(\Gamma (R)) $, $ Z(\Gamma (R)) $ و $ Reg(\Gamma (R)) $ که زیرگراف های القا شده ای از $ T(\Gamma (R)) $ هستند را به ترتیب با راس های $ Nil(R) $, $ Z(R) $ و $ Reg(R) $ نمایش می دهیم. برای این امر دو حالت را در نظر می گیریم, حالت اول وقتی که $ Z(R) $ ایده آلی از $ R $ باشد و حالت دوم وقتی که $ Z(R) $ ایده آلی از $ R $ نباشد.

گرافهای وابسته به مدولها، که در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرند، در سه نوع دسته بندی می شوند که با توجه به نوع مدولی که برای آن تعریف شده است، دارای خواص و ویژگیهای متنوعی هستند. با مطالعه و بررسی این خواص، ویژگیهای تازه ای در ارتباط با این گرافها حاصل می گردد.

\textbf{\large{چکیده}} \end{center} فرض کنید $ R $ یک حلقه جابجایی و $ \mathbb{A}(R) $ مجموعه ای از ایدآل ها با پوچساز مخالف صفر باشد. در این مقاله و دنباله اش گراف ایدآل-پوچساز $ R $ را که با $ \mathbb{AG}(R) $ نشان داده می شود، معرفی و بررسی می کنیم. گراف ایدآل-پوچساز $ R $ یک گراف غیر جهت دار است با راس های $\mathbb{A}(R)^{\ast}:=\mathbb{A}(R) \backslash \left\lbrace \left( \mathbf{0} \right) \right\rbrace $ و دو راس متمایز $ I $ و $ J $ مجاورند اگر و تنها اگر $ IJ=(\mathbf{0}) $. ابتدا بعضی از شرایط متناهی بودن $ \mathbb{AG}(R) $ را بررسی می کنیم. به عنوان مثال، نشان داده می شود که اگر $ R $ یک حوزه صحیح نباشد، آنگاه $ \mathbb{AG}(R) $ روی راس هایش دارای شرط زنجیره ای صعودی (به ترتیب شرط زنجیره ای نزولی) خواهد بود، اگر و تنها اگر $ R $ نوتری (به ترتیب آرتینی) باشد. به علاوه، مجموعه ی رئوس $ \mathbb{AG}(R) $ و مجموعه ی ایدآل های سره ناصفر $ R $ عدد اصلی یکسانی دارند هنگامی که $ R $ یا آرتینی و یا یک حلقه قابل تجزیه باشد. با این نتیجه برای حلقه ی $ R $ ، $ \mathbb{AG}(R) $ دارای $ n $ راس $ (n \geq 1) $ خواهد بود اگر و تنها اگر $ R $ دارای $ n $ ایدآل سره ناصفر باشد. سپس پیوستگی $ \mathbb{AG}(R) $ را بررسی خواهیم کرد. نشان داده خواهد شد که $ \mathbb{AG}(R) $ یک گراف همبند است و $ diam(\mathbb{AG}(R) ) \leq 3 $ و اگر $ \mathbb{AG}(R) $ شامل یک دور باشد، آنگاه $ gr(\mathbb{AG}(R)) \leq 4 $. همچنین حلقه های $ R $ که در آن گراف $ \mathbb{AG}(R) $ یک گراف کامل یا ستاره، و نیز حلقه های $ R $ که در آن هر راس $ \mathbb{AG}(R) $ یک ایدآل اول (ماکسیمال) است بررسی خواهد شد. \textbf{کلمات کلیدی:} حلقه های تعویض پذیر، ایدآل-پوچساز، مقسوم علیه-صفر، گراف

این پایان نامه ادامه مطالعه گراف ایده آل پوچساز حلقه های جابجایی معرفی شده در \cite{5 5} می باشد. فرض کنید $ R $ یک حلقه جابجایی با $ \mathbb{A}(R) $ مجموعه ایده آل ها با پوچساز غیر صفر و $ Z(R) $ مجموعه ای از مقسوم علیه های صفر باشد. گراف ایده آل پوچساز حلقه $ R $ به عنوان گراف (بی جهت) $ \mathbb{AG}(R) $ که راس های آن $ \mathbb{A}(R)^{*} = \mathbb{A}(R) \setminus \{(\mathrm{0})\} $ تعریف می شود که در آن برای تمام راس های مجزای $ I $ و $ J $، $ J $ --- $ I $ یک یال است اگر و تنها اگر $ IJ = (\mathrm{0}) $. در ابتدا قطر گراف $ \mathbb{AG}(R) $ مورد مطالعه قرار می گیرد. یک توصیف کامل برای قطر، به طور منحصر به فرد در روابط ایده آل های $ R $ داده می شود هنگامیکه، یا حلقه $ R $ یک حلقه نوتری باشد یا $ Z(R) $ یک ایده آل از حلقه $ R $ نباشد. سپس، رنگ آمیزی گراف های ایده آل پوچساز مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین $ \chi(\mathbb{AG}(R)) \leq 2 $ یا حلقه $ R $ تقلیل یافته و $ \chi(\mathbb{AG}(R)) \leq \infty $ را مشخص می کنیم. این نتایج نشان می دهند که برای هر حلقه تقلیل یافته $ R $، $ \chi(\mathbb{AG}(R)) = cl(\mathbb{AG}(R)) $. علاوه بر این، اگر $ \chi(\mathbb{AG}(R)) $ متناهی باشد، آن گاه حلقه $ R $ تعداد متناهی ایده آل اول مینیمال دارد و اگر $ n $ این عدد باشد، آن گاه $ \chi(\mathbb{AG}(R)) = cl(\mathbb{AG}(R)) = n $. در آخر، نشان داده می شود که برای یک حلقه نوتری $ R $، $ cl(\mathbb{AG}(R)) $ متناهی است اگر و تنها اگر برای هر ایده آل $ I $ از $ R $ با $ I^{2} = (\mathrm{0}) $، $ I $ تعداد متناهی $ R $-زیر مدول داشته باشد

مفهوم مدولهای G_C روی حلقه های جابجایی معرفی و بررسی می شودکه در آن C یک مدول نیم دوگان است. این کار مدولهای تصویریC -گرنشتاین یوگنسن و هولم را برای حلقه های غیر نوتری تعمیم می دهد.

در این پایان نامه، فرض می شود R یک حلقه جابجایی،موضعی، نوتری و L^' , L ، مدول باشند. بعضی ویژگی های فانکتورهای توسیع و تابی مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه توجه خود را به برد مشتق هایی خاص روی جبرهای باناخ معطوف نموده و حدس سینگر-ورمر را برای این رده از مشتق ها یعنی مشتق های درونی و تعمیم یافته می ازماییم و شرایطی را مورد بررسی قرار می دهیم که تحت آنها این حدس برقرار باشد.

در این پایان نامه به بررسی برخی خواص ایده الهای کا هش یافته، بستارهای صحیح،بستارهای دلتایی و بستارهای راتلیف-راش در حلقه های نوتری می پردازیم.

در جبر همولوژی ابعاد تصویری، انژکتیو و یکدست نقش مهم و اساسی دارند. در این پایان نامه مطالب مربوط به ابعاد گرنشتاین تصویری، گرنشتاین انژکتیو و گرنشتاین یکدست مورد بررسی قرار می دهیم.

فرض می کنیم R یک حلقه جابجایی و یکدار و $\Delta$ یک مجموعه بسته ضربی از ایده الهای غیر صفر R و A یک مدول آرتینی باشد. مفاهیم $\Delta$ -کاهشیافته و $\Delta$ -بستار ایده الها نسبت به مدول آرتینی A مورد بررسی قرار می دهیم.

We introduce pretty clean modules, extending the notion of clean modules by Dress, and showthat pretty clean modules are sequentially Cohen–Macaulay.We also extend a theorem of Dress on shellable simplicial complexes to multicomplexes

در این پایان نامه جبر پوشش راسی از مجتمع های سادکی وزن دار مورد بررسی قرار گرفته. این جبر رده خاصی از جبرهای ریس نمادین می باشد. نشان داده شده که جبر ریس نمادین از ایده آلهای از ایده آلهای تک جمله ای متناهی مولد است و کوهن.مکاولی است هرگاه خالی از مربع باشند.

In this paper, we study some properties of strongly Gorenstein projective, injective and flat modules, and we discuss some connections between strongly Gorenstein projective, injective and flat modules, and we consider these properties under change of rings.

در این پایان نامه ابتدا ضد مشتق را به صورت یک تابع خطی در نظر میگیریم ونشان می دهیم چنین تابعی مجموع یک مشتق و یک ضد مشتق است. در مرحله ی بعد ساختار همریختی های جردن از یک حلقه ی بالا مثلثی به یک جبر دلخواه روی اعداد مختلط را مشخص خواهیم نمود.

Attached primes and secondary representations were introduced in 1973 by Macdonald [I.G. Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Sympos. Math. 11 (1973) 23–43] to develop a dual theory to the associated primes and primary decomposition in commutative algebra. This article generalizes Macdonald’s theory to the noncommutative setting.

در این پایان نامه ساختار ایده آلهای خاصی از حلقه هایی را که دارای عضو همانی یک طرفه می باشند بررسی می کنیم. در مرحله ی بعد مشتق های جردن و جردن سه تاییروی حلقه های نیمه اول را که از مشخصه ی 2 نیستند مورد بررسی قرار می دهیم. در مرحله ی پایانی ساختار بعضی از رادیکالهای حلقه ی بالا مثلثی روی حلقه ی R را بررسی خواهیم نمود.

Let I, J be ideals of a commutative Noetherian local ring (R,m) andM, be a finite R-module. We prove that, inf{f − depth(a,M)| a 2 ˜W (I, J)} = inf{i|Hi I,J (M) 6= Him (M)} = inf{depthMp| p 2 W(I, J) \ {m}} and inf{f−depth(a,M)| a 2 ˜W (I, J)} is the least integer i such that Hi I,J (M) is not Artinian. By using the concept of the serre class of R–modules, we conclude some properties of local cohomology module with respect to a pair of ideals. In addition, we show that, if M is a finite module over a local ring R, then Hi m,J (M) is not Artinian for some non–zero ideal J of R and some integer i. In the remaining part of the thesis we discuss about finiteness properties of local cohomology with respect to a pair of ideals I, J. Firstly, by extending notion I–cofinite as (I, J)–cofinite, we conclude the main result of dibaei–Yassemi in [13] and [14]. Finally, we prove that, if t = inf{i|Hi I,J (M) 6= 0}, then for all p 2 AssHt I,J (M), gradeM p = t.

We consider a finitely generated graded moduleM over a standard graded commutative Noetherian ring R =d0 Rd and we study the local cohomology modules Hi R+(M) with respect to the irrelevant ideal R+ of R. We prove that the top nonvanishing local cohomology is tame, and the set of its minimal associated primes is finite. When M is Cohen–Macaulay and R0 is local, we establish new formulas for the index of the top, respectively bottom, nonvanishing local cohomology. As a consequence, we obtain that the (Sk)-loci of a Cohen–Macaulay R-module M, regarded as an R0-module, are open in Spec(R0). Also, when dim(R0) 2 and M is a Cohen–Macaulay R-module, we prove that Hi R+(M) is tame, and its set of minimal associated primes is finite for all i.  2004 Elsevier Inc. All rights reserved

Graded local cohomology modules and their associated primes: the Cohen–Macaulay case