علی سلیمان جهان

ایده آل تکجمله ای $I$ تولید شده از یک درجه را فریمان گویند هرگاه تعداد مولد های I^2 برابر باشد با حاصلضرب تعداد مولدهای I ضرب در گسترده تحلیلی I منهای تعداد انتخاب های 2 از گسترده تحلیلی I. در این پایان نامه همه ی گراف های ساده و همبند دو بخشی مخلوط نشدنی که ایده آل پوشش آنها􀍬 مخلوط نشدنی هستند دسته بندی شده است.

فرض کنید I ایده آل تک جمله ای خال از مربع تولید شده از یک درجه در حلقه چند جمله ای ها باشد. فرض کنید G_I گراف اولین سیزیجی ایده ال یالی G یعنی I(G) باشد. در این پایان نامه ارتباط بین تحلیل خطی داشتن ، خارج قسمت خطی داشتن و متغییر تجزیه پذیر بودن I(G) را بررسی میکنیم.

فرض کنید R حلقه ای جابجایی باشد. اندرسون و بداوی در سال 2011 به عنوان تعمیم ایده ال های اول، ابدخ آل های n-جاذب را معرفی کردند عدد n_ جاذب ایده ال I را با w(I) نشان دادند. در این پایان نامه w(I) برای کلاس های از ایده ال های تک جمله ای بررسی می شود.

در این پایان نامه هایپر گراف های وتری معرقی و تغمیم قضیه فروبرگ بررسی می شود.

در این پایان نامه به هر ایده ال تک جمله ای خالی از مربع گراف $G_I$ را وابسته می کنیم که به آن گراف اولین سیزیجی $I$ می گوییم. در حالاتی که این گراف مسیر، دور و درخت باشد مشخص کرده ایم تحت چه شرایطی ایده آل $I$ تحلیل خطی دارد. همچنین نشان داده ایم که در این حالات تحلیل خطی ، ترتیب خطی و تجزیه پذر راسی بودن برای ایده آل $I$ معادل هستند.

در این پایان نامه ابتدا اعدا کاهشی ایده ال های تک جمله ای در حلقه چند جمله ای با دو متغییر بررسی و مطالعه شده است. در یخش دیگری از پایان نامه خاصیت پایداری ایده ال های خالی از مربع مورد مطالعه قرار گرفته است. برای کلاسی از ایده آل ها شاخص پایایی بررسی شده است.

در این پایان نامه ابتدا گراف مقسوم علیه صفر نسبت به یک ایده آل را برای مجموعه های جزئا مرتب دارای عنصر صفر، تعریف می کنیم. این گراف را با G(P)_I نشان میدهیم. نشان می دهیم قطر این گراف کمتر یا مساوی 3 است و همبند است. همچنین ثابت می کنیم عدد خوشه ای و عدد رنگی در این گراف برابر هستند. و این ثابت می کند که حدس بک در این حالت برقرار است.

هدف این پایان نامه بدست آوردن فرمولی برای معکوس درازین تعمیم یافته یک ماتریس بلوکی در جبر باناخ تحت شرایط مختلف است. همچنین استفاده از متمم شور تعمیم یافته ماتریس های بلوکی برای یافتن نمایش معکوس درازین تعمیم یافته ی آنها می باشد.

در این پایان نامه ابتدا مفهومی از دنباله های منظم، تقریبا منظم، مدول های تمیز(نسبتا تمیز و تقریبا تمیز) را معرفی می کنیم. سپس نشان می دهیم اگر $I$ ایده آلی تک جمله ای در حلقه ی $R$ باشد و $u_1, ..., u_m $ دنباله ای( تقریبا) منظم روی $R/I$ باشد، انگاه $R/I$ (نسیتا) تمیز است اگر و تنها اگر $(R/(I,u_1,..,u$ (نسبتا) تمیز باشد.

فرض کنید H ماتریسی بلوکی 2 در2 با بلوک (2،2) صفر، بلوک (1،1) A ، بلوک (1،2) B و بلوک (2،1) C باشد که A و B ماتریسهای مربعی معکوس پذیر درازین با شاخصهای بزرگتر یا مساوی 1 باشند. هدف این پایان نامه بدست آوردن شاخص درازین ماتریس H است، در صورتی که نرم خطای اختلال آن بزرگ باشد.

در این پایان نامه ردهای از ایده آل ها که ایده آل های تک جمله ای k- تجزیه پذیر نامیده می شوند را معرفی می کنیم. همچنین نشان داده می شود که رده ی ایده آل های k- تجزیه پذیر، مشمول در رده ی ایده آل های تک جمله ای دارای خارج قسمت های خطی می باشد.

در این پایان نامه، نخست به معرفی \alpha-متقارن و بررسی بعضی از ویژگی ای آنها از جمله توسیع آنها، خواهیم پرداخت. همچنین، بعضی از روابط بین حلقه های \alpha-متقارن، \alpha-صلب و آرمیندرایز را بررسی خواهیم نمود. سپس، مشتق جردن چپ روی یک حلقه را معرفی نموده، بعضی از ویژگی های آن را بررسیخواهیم کرد.

در جبر جابجایی، راه های متعدد و گوناگونی برای برقراری ارتباط بین اشیای ترکیبیاتی و اشیای جبری وجود دارد. ما در این جا از طریق متناظر کردن ایده آل های یالی دو جمله ای به گراف ها، به مطالعه ی این اشیا می پردازیم. در این پایان نامه تمام گراف هایی را که ایده آل یالی دو جمله ای آنها دارای تحلیل خطی باشد رده بندی می کنیم. همچنین بعضی از اعداد بتی مدرج این ایده آل ها را بر حسب ویژه گیهای گراف زمینه محاسبه می نماییم. به علاوه کران های بالا و پایین برای نظم این ایده آلها، بر حسب مشخصه های گرافی به دست می آوریم. در ادامه، نتایجی را درباره ی ایده آلهای 2-کهادهای مجاور یک ماتریس کلی به دست می آوریم.

فرض کنید (C_F(X ساکل (C(X باشد. نشان می دهیم که هر ایدآل اول در (C(X ) /C_F(X اساسی است. برای هر h در (C(X ، ثابت می کنیم هر ایدآل اول (z- ایدآل ) از (C(X ) /(h اساسی است اگر و تنها اگر صفر-مجموعه h شامل نقاط منفرد نباشد intZ(h)=φ) . ثابت شده است که بعد (C(X ) /C_F(X بزرگتر یا مساوی بعد گلدی (C(X می باشدو نامسای ممکن است اکیدباشد. همچنین به ویژگی های جبری فضاهای فشرده باحد اکثر نقاط منفرد شمارامی پردازیم. برای هر ایده ال اساسی E در (C(X مشاهده می کنیم که (E /C_F(X در ا(C(X ) /C_F(X اساسی است اگرو تنها اگرمجموعه نقاط منفرد X متناهی باشد.

در این پایان نامه ایده ال های اول وابسته ی توان های از یک ایده ال پلی ماتروایدل مورد مطالعه قرار میگیرد. نشان میدهیم در چه صورتی داراری مجموعه پایا تز ایده آل های اول وابسته هستند. شاخص پایایی بعضی از آنها مانند ایدهال های از نوع ورونه زه محاسبه میشود.

در این پایان نامه عمق ایده ال های یای گراف های دو بخشی، درختها و مسیرها را محاسبه مکنیم. سپس با استفاده از ویژگیهای راسها ازاد در درختها و جنگلها، کران های منباسبی برای عمق توانهای ایده ال یالی جنگلها ارائه میکنیم.

در این پایان نامه کلاسهای جدیدی از ایده ال های تک جمله ای تمیز و نسبتا تمیز معرفی شده اند. نشان داده ایم اگر ایده ال $I$ دارای 3 مولد و یا کمتر از 3 مولد داشته باشد، آنگاه $S/I$ نسبتا تمیز است. همچنین نشان مدهیم اگر ایده ال $I$ بوسیله یک دنباله فیلتر منظم تولید شود، آنگاه $S/I$ بسبتا تمیز است. در نتیجه حدس استانلی برای $S/I$ در این حالات برقرار است. بعلاوه ایده ال های پلی ماتروید مورد مطالعه قرار گرفته و بعضی از خواص جبری آنها بررسی شده اشت.

در این پایان نامه نشان می دهیم اگر مجتمع سادکی $Delta$ مجتمع مقطع کامل یا کوهن-مکاولی با ارتفاع 2 ، یا گورنشتاین با همبعد 3 باشد، آنگاه دارای تجزیه راسی است. همچنین نشان داده ایم مجتمع های 2-کوهن-مکاولی با همبعد 3 تجزیه پذیر راسی هستند. درخصوص تجزیه پذیر راسی بودن مجتمع های سادکی وابسته به دورها، مسیر ها و خطوط مطالبی ثابت کرده ایم. در ادامه مدول های استانلی کوهن-مکاولی تعرف و مطالعه شده اند.

هدف اصلی این تحقیق محاسبه ی عمق استانلی ایده آل های تک جمله ای و ارتباط تجزیه های استانلی با پلایش های اول است و همچنین افراز های مجتمع های سادکی است. نشان می دهیم اگر $I\subset J$ دو ایده آل تک جمله ای در حلقه چند جمله ایها باشند، انگاه عمق استانلی $I/J$ را می توان در تعداد متناهی مرحله محاسبه کرد.

در این پایان نامه گروه هایی با تعداد متناهی از زیرگروههای نرمال ساز را مورد بررسی قرار می دهیم. گروه های با یک به گروههای ددکیند معروفند. توماس و مورا به طبقه بندی گروه هایی با دو نرمالساز پرداختند. در این پایان نامه ما به تاثیر حل پذیری گروه های متناهی توسط زیرگروههای نرمالساز آنها می پردازیم و نشان می دهیم که گروه هایی با سه و چهار نرمالساز می پردازیم.

در این پایان نامه خواص اساسی ایده آل های تک جمله ای دارای خارج قسمتهای خطی، و ارتباط آنها با پوسته پذیری مجتمع های سادکی و مدولهای تمیز مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است. مفهوم خارج قسمتهای خطی به منظور ساختن یک تحلیل خطی برای ایده آل های مدرج معرفی گردید. این مفهوم ترکیبیاتی است، در حالی که مفهوم تحلیل خطی یک مفهوم جبری است. نشان مدهیم اگر $I$ دارای خارج قسمت خطی باشد، آنگاه یک ترتیب خطی از مولدهای $I$ که از لحاظ درجه صعودی یافت می شود و $mI$ نیز ترکیب خطی دارد. همچنین نشان مدهیم پوسته پذیری مجتمع های سادکی و خارج قسمتهای خطی داشتن یک ایدن آل تک جمله ای دوگان هم هستند.

در این پایان نامه، گراف های پوسته پذیر را مورد مطالعه قرار می دهیم و آنها را دسته بندی می کنیم. به هر گراف غیر جهت دار $G$ مجتمع سادکی $A_G$ را نسبت می دهیم که وجه واره های آن، مجموعه های مستقل خطی از $G$ می باشند. گوییم $G$ پوسته پذیر است هر گاه $A_G$ مجتمع سادکی پوسته پذیر باشد. نشان خواهیم داد که همه گراف های وتری پوسته پذیرند. بعلاوه همه گراف های دو بخشی پوسته پذیر را دسته بندی میکنیم، که دقیقا همان گراف های دو بخشی دنباله ای کوهن-مکاولی هستند. همچنین یک روش بازگشتی برای تشخیص پوسته پذیری گرافهای دو بخشی ارائه می کنیم.

معکوس درازین نخستین بار در سال 1958 توسط درازین ارائه شد. در این پایان نامه ابتدا معکوس درازین یک ماتریس را بیان کرده،سپس معکوس درازین ماتریس بلوکی را تحت شرایط خاصی بررسی می کنیم. معکوس درازین ماتریس ها دارای کاربردهای جالبی در حل معادلات دیفرانسیل منفرد، معادلات تفاضلات منفرد،زنجیر های مارکوف و روش های تکراری در آنالیز عددی است. مسئله ی مهمی که در این پایان نامه بررسی می شود یافتن فرمولی برای معکوس درازین ماتریس غیر مثلثی است.

هدف این پایان نامه مشخص کردن مجتمع های سادکی است که جبر پوششی راسی آنها استاندارد مدرج باشد. ثابت شده که اگر مجتمع سادکی هیچ دور فرد خاص با طول بزرگتر یا مساوی 3 نداشته باشد انگاه جبر پوششی راسی آنها استاندارد مدرج است.

We introduce pretty clean modules, extending the notion of clean modules by Dress, and showthat pretty clean modules are sequentially Cohen–Macaulay.We also extend a theorem of Dress on shellable simplicial complexes to multicomplexes

در این پایان نامه جبر پوشش راسی از مجتمع های سادکی وزن دار مورد بررسی قرار گرفته. این جبر رده خاصی از جبرهای ریس نمادین می باشد. نشان داده شده که جبر ریس نمادین از ایده آلهای از ایده آلهای تک جمله ای متناهی مولد است و کوهن.مکاولی است هرگاه خالی از مربع باشند.

در این پایان نامه به مطالعه مدولهای تمیز و نسبتا تمیز پرداخته شده. مدولهای نسبتا تمیز تعمیم مدولهای تمیز هستند. به این مدولها یک مجتمع چند گانه نسبت داده می شود و نشان داده شده که یک مدول نسبتا تمیز است اگر و تنها اگر مجتمع چند گانه وابسته به ان پوسته پذیر باشد.

در این پایان نامه به بررسی خواص ماتریس های نرمال -مزدوج و روابط هم ارز با نرمال-مزدوج بودن و کاربرد فرم یولا در آنها می پردازیم.