محمد قاسمی

هدف اصلی این رساله، ارائە ی روش جدید هم محلی بر اساس تابع سینک غیرکلاسیک برای حل معادلات دیفرانسیل و دستگاە های معادلات انتگرو⁃دیفرانسیل می باشد. نوآوری این روش مبتنی بر استفاده از تابع وزن غیرکلاسیک جدید برای روش سینک به جای تابع وزن کلاسیک است. درونیابی بر اساس توابع سینک غیرکلاسیک نیز مانند درونیابی با توابع سینک کلاسیک دارای دقت نمایی است. از روش هم محلی سینک غیرکلاسیک برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم منفرد، معادلات دیفرانسیل مرتبه سوم و دستگاه معادلات انتگرو⁃دیفرانسیل مرتبه دوم خطی استفاده می کنیم که مرتبه همگرایی روش در همە ی موارد فوق، نمایی می باشد. همچنین از روش های هم محلی SEسینک غیرکلاسیک و DEسینک غیرکلاسیک برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه سوم منفرد و از روش هم محلͬ DEسینک غیرکلاسیک برای حل دستگاه معادلات انتگرو⁃دیفرانسیل استفاده می کنیم که همگرایی روش برای این معادلات نیز دارای دقت نمایی است. استفاده از توابع پایه سینک غیرکلاسیک مزایایی دارد: اول، مانند توابع پایە ای سینک دارای دقت نمایی می باشند. دوم، در برخورد با مساله که دارای تکینگͬی هستند رفتار خوبی دارد. سوم، با انتخاب برخی وزن های مناسب، دقت بهتری نسبت به روش های عددی مبتنی بر توابع سینک دارند. چهارم، حل مشکل مشتق ناپذیری توابع سینک در نقاط مرزی دامنە های متناهی .

هدف ما در این پایان نامه، ساخت و تجزیه و تحلیل روش های عددی با مرتبه دقت بالا برای حل مسایل مقدار اولیه ی معادلات انتگرال-دیفرانسیل منفرد ضعیف از نوع ولترا با انواع مختلف تکینگی می باشد. ابتدا مساله ی مقدار اولیه به یک معادله انتگرالی تبدیل می شود، سپس تبدیل هموارساز مناسب به صورتی اعمال می شود که جواب دقیق معادله ی حاصل هیچ تکینگی در مشتقات آن تا یک مرتبه ی خاص ندارد. معادله ی تبدیل یافته با استفاده از روشهم محلی تکه ای چندجمله ای روی یکافراز یکنواخت یا افراز نسبتاً درجه بندی شده حل خواهد شد. سرانجام تقریب های اسپلاین به دست آمده برای تقریب جواب مساله مقدار اولیه که معمولاً غیر چندجمله ای هستند، استفاده خواهند شد. نتایج تئوری با چند مثال عددی آزمایش می شوند. همچنین مرتبه همگرایی بهینه برای دسته نسبتاً گسترده ای از تبدیلات هموار به دست خواهد آمد و فوق همگرایی الگوریتم پیشنهادی در یک حالت خاص اثبات خواهد

خانواده جدیدی از روش های پیشگو-اصلاحگر را برای حل معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی به فرم‎$ D^{\alpha}y(t)=f(t,y(t)) $‎ و ‎$ 0<\alpha<1 $‎ به کار برده و تجزیه و تحلیل پایداری روش را بررسی و کران خطا را به دست می آوریم. در این جا منظور از ‎$ D^{\alpha} $‎ مشتق کسری کاپوتو از مرتبه ‎$ \alpha $‎ است. ثابت می کنیم روش ارائه شده دارای مرتبه دقت بالاتر و زمان اجرای بسیار پایین تری نسبت به روش های موجود مانند روش آدامز کسری و ... می باشند‎.\\‎ به طور تقریبی زمان اجرای روش ما معادل ‎10\%‎ زمان اجرای روش ‎Fractional adams method ‎$ (FAM) $‎ و ‎20\%‎ زمان اجرای روش New predictor-corrector method ‎$ (NPCM) $‎ است. به علاوه برای مقادیر بسیار کوچک ‎$ \alpha $‎ که دقت روش آدامز کسری و روش پیشگو-اصلاحگر افت می نماید، دقت روش ما به خوبی حفظ شده و همگرا می شود‎. در نهایت با حل تعدادی مثال متنوع از معادلات کسری، کارایی (شایستگی و بهره برداری بهینه از آن) روش را نشان خواهیم داد

در این پایان نامه هدف ساختن پایه های بهینه بی-اسپلاین می باشد که ما را قادر به ایجاد روشی دقیق با هزینه ی محاسباتی کم برای حل معادلات دیفرانسیل با مرتبه ی کسری می سازد. علاوه بر اینکه یک راه برای ساختن پایه های بی-اسپلاین ارائه می شود، ساختار تحلیلی این پایه ها و هم چنین فرم مشتقات کسری آن ها نیز برای اسپلاین از درجه دلخواه ارائه خواهد شد. جزئیات ساخت پایه های بهینه ی بی-اسپلاین از درجه دلخواه را شرح داده سپس آن ها را برای تقریب جواب معادلات کسری به کار خواهیم برد. این پایه ها ابزاری کارآمد برای ساختن روش های عددی بر پایه ی توابع اسپلاین هستند.

قیمت گذاری قرارداد های مالی و گزینه ای از فرایند زیر مدل کشش ثابت واریانس‎ یا به اختصار CEV پیروی می کند. برای گزینه های CEV‎ اروپایی، راه حل های بسته شامل توزیع های مربعی غیر مرکزی توصیف می شود که محاسبات آنها نسبتاً ناپایدار و پرهزینه هستند. یک روش جایگزین می تواند روش شبه درون یابی مولتی کوادریک باشد. در این پایان نامه ابتدا به معرفی تعاریف و مفاهیم مورد نیاز پرداخته می شود. ماتریس های معین مثبت و ویژگی های آن اساس کار برای کاستن از محاسبات طولانی دستگاه های ماتریسی می باشد. سپس به معرفی درون یابی و شبه درون یابی با توابع پایه شعاعی پرداخته می شود. شبه درون یابی با یکی از توابع پایه شعاعی را مورد بررسی قرار داده و سپس به بیان مفاهیم پایه ای قیمت گذاری پرداخته می شود. اصطلاحات پایه ای را بیان کرده و یک تعریف اساسی و بنیادی برای مفهوم آربیتراژ ارائه داده می شود. بعد از آن با استفاده از مفاهیم ساده، فرمول کلاسیک صریح بلاک - شولز را بدست آورده و آن را با روش کرانک - نیکلسون در بعد زمان و شبه درون یاب پایه شعاعی در بعد مکان گسسته سازی و حاصل به فرم یک دستگاه ماتریسی نوشته می شود. سازگاری روش بررسی و نشان داده می شود که روش از دقت و سرعت مناسبی برخوردار است. در نهایت با بررسی مدل های اروپایی و آمریکایی، یک مثال کاربردی با ضرایب ارتجاعی متفاوت به صورت عددی حل خواهد شد.

در این پایان نامه برآورد خطای پسین برای تقریب عددی از مسائل مقدار مرزی دونقطه ای برای معادلات دیفرانسیل مرتبه ی دوم به وسیله ی روش های هم محلی چندجمله ای تکه ای تخمین زده شده است. شاخص های خطا مبتنی بر نقصان جواب هم محلی نسبت به طرح تفاضلی دقیق و استفاده از یک طرح تفاضلی مرتبه ی پایین و کم هزینه هستند. ما دقت بالای مجانبی این امر را اثبات نموده و صحت نتایج تئوری را با آزمایشات عددی نشان خواهیم داد.

در اﯾﻦ ﭘﺎﯾﺎن ﻧﺎﻣﻪ، ﻫﺪف به ﮐﺎرﮔﯿﺮی ﻋﻤﻠگرﻫای ﺗﺼﻮﯾﺮ ﺑﺮﭘﺎﯾﻪ ی ﺷﺒﻪ دروﻧﯿﺎب اﺳﭙﻼﻦبر روی ﺑﺎزه ﻫﺎی ﮐﺮاﻧﺪار ﺑﺮای ﺗﻘﺮﯾﺐ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻻت اﻧﺘﮕﺮال ﻓﺮدﻫﻠﻢ ﻧﻮع دوم ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﮑﻨﯿک ﻫﺎی ﮔﺎﻟﺮﮐﯿﻦ ﮐﺎﻧﺘﻮروﯾﭻ ﺳﻠﻮان و ﮐﻮﻟکارنی می ﺑﺎﺷﺪ. ﻣﺒﺎﺣﺚ ﻧﻈری در راﺑﻄﻪ با همگرایی روش ﺷﺒﻪ دروﻧﯿﺎب اﺳﭙﻼﻦ درجه دوم و ﺳﻮم به ﺗﻔﺼﯿﻞ اراﺋﻪ ﺧﻮاﻫند شد. ﻫﻤﭽﻨﻦ ﺑﺮای ﺗﺎﯾﯿﺪ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻧﻈری ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه، با اﻧﺠﺎم آزﻣﺎﯾﺶ ﻫﺎی عددی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﮐﺎرایی روش ﻫﺎی اراﺋﻪ ﺷﺪه ﻣﻮدر ﺑﺮرسی ﻗﺮار ﺧﻮاﻫند ﮔﺮفت.

در این پایان نامه، قصد داریم شبه درونیاب بی اسپلاین درجه دوم و مکعبی را برای حل دسته ای از معادلات یک بعدی وابسته به زمان از نوع سوبولف به کار برده و روش هایی با دقت بالا برای تقریب جواب ایجاد نماییم همچنین می خواهیم این روش ها را از لحاظ مرتبه ی همگرایی و دقت با هم مقایسه کنیم و همچنین یک روش دیگر بر اساس شبه درونیاب اسپلاین مکعبی پیاده سازی خواهیم نمود که دقت آن در بعد مکان مرتبه ی چهارم است. ما به صورت تحلیلی مرتبه ی دقت روش های فوق را به دست آورده و L^2-پایداری آن ها را در حالت خطی با آنالیز ون نویمن بررسی خواهیم نمود. به عنوان یک مثال عددی مساله ی بنجامین-بونا-ماهوتی-برگرز را با استفاده از افراز یکنواخت حل نموده و نتایج عددی را با نتایج تحلیلی مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه، دو روش مختلف بر اساس بی اسپلاین مکعبی برای تقریب جواب مساله ی حساب تغییرات توسعه یافته است. یکی از روش ها مستقیم و دیگری غیرمستقیم خواهدبود. واضح است وقتی اسپلاین مکعبی را برای درونیابی تابع g∈C^4 [a,b] بر روی افراز یکنواخت با طول گام ‎h به کار بریم، مرتبه ی همگرایی آن O(h^4) است‎. در این پژوهش ابتدا روش غیرمستقیم برای تقریب جواب مساله با دقت ‎ O(h^4)به کار رفته، سپس تحلیل همگرایی با جزئیات کامل مورد بحث قرار می گیرد. همچنین یک روش فوق همگرای محلی از مرتبه ی ‎ O(h^6)به صورت غیرمستقیم نیز ایجاد می شود. در نهایت یک روش مستقیم براساس اسپلاین مکعبی برای تقریب جواب مساله ایجاد شده و تعدادی از مسائل موجود با این الگوریتم ها حل خواهند شد. به منظور نشان دادن دقت و کارایی روش ها، خطاها در جدولی ارائه شده و با روش های موجود مقایسه خواهند شد.

دراین پایان نامه، حل عددی معادلات هذلولوی دوبعدی با استفاده از روش کوادراتور دیفرانسیلی بر اساس بی-اسپلاین درجه سوم اصلاح شده مورد مطالعه قرار می گیرد. این روش، مساله ی هذلولوی ‎(هایپربولیک)‎ را به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی تبدیل کرده و دستگاه حاصل با استفاده از روش رونگه-کوتای بهینه ی چهار مرحله ا ی مرتبه سه حافظ پایداری قوی حل می شود. سپس خطای حاصل از به کارگیری این روش مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین پایداری روش مورد بررسی قرار گرفته و نشان داده می شود که روش به طور نامشروط پایدار است. در پایان،کارایی روش با استفاده از مثال هایی نشان داده می شود.

در این پایان نامه، گسسته سازی طیفی عملگر های مشتق کسری مورد بررسی قرار می گیرد که در آن پایه تقریب به مجموعه چندجمله ای های ژاکوبی مرتبط است. روش شبه طیفی با این فرض اجرا می شود که نقاط نمایش تابع و گره های هم مکانی ممکن است یکسان نباشند. این اختیار جدید راه را برای تجزیه و تحلیل شگردهای جایگزین و جستجوی توزیع های بهینه از گره های هم مکانی‎ ‎ ، باز می کند. هنگامی که نقاط نمایش انتخاب شد ، با هدف توسعۀ بعد فضای تقریب ، روش هایی برای چگونگی بازیابی گره های هم مکانی ارائه می شود. به عنوان نتیجه ای از این فرایند ، کارایی بهبود می یابد. کاربردهایی در نوع کسری معادله پهن رفت-پخش و مقایسه هایی از نظر دقت و کارایی ارائه شده است. همانطور که در تجزیه و تحلیل ها نشان داده می شود ، انتخاب های خاص از گره ها می تواند ترفندهایی را برای سرعت بخشیدن به محاسبات پیشنهاد دهد.

در این پایان ‎نامه، حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی خطی یک بعدی با استفاده از روش هم محلی اسپلاین درجه ی دوم مورد مطالعه قرار می گیرد. روش های جدیدی برای حل معادلات سهموی خطی یک بعدی توسعه داده می شوند. این روش ها ترکیبی از روش هم محلی اسپلاین درجه ی دوم برای گسسته سازی مکانی ، و یک روش کلاسیک تفاضلات متناهی همچون کرانک-نیکلسون برای گسسته سازی زمانی می باشند. حل دستگاه خطی سه قطری در هر گام زمانی ، از ویژگی های مهم این روش کارآمد محسوب می شود ، و در عین حال خطاهای حاصله در نقاط گرهی و میانی افراز از مرتبه چهار می باشند. برای یک مساله ی خاص ، خواص پایداری و همگرایی روش جدید تحلیل خواهند شد. نتایج عددی نیز پایداری و دقت روش ها را تایید می کنند.

شرایط مرزی در روش های هم مکانی طیفی به طور معمول با حذف سطرهایی از عملگر دیفرانسیلی گسسته شده و جایگزین کردن آنها با شرایط مورد نیاز در مرز اعمال می شوند. در این پایان نامه یک روش جدید بر مبنای نمونه گیری مجدد از مشتق چندجمله ایها در میان یک زیرفضای درجه پایین تر مطالعه می شود که ماتریس های مشتقگیری و عملگرهای ساخته شده از آنها را بدون حذف هیچ سطری مستطیلی می کند. پس از آن، با الحاق شرایط مرزی و رابط می توان به یک دستگاه مربعی دست یافت. روش به دست آمده انعطاف پذیر و قوی است، و از ابهامات ناشی از به کارگیری روش متداول حذف سطر در غیر از مسائل مقدار مرزی اسکالر دو نقطه ای، دوری می کند. این روش جدید مبنای حل معادلات دیفرانسیل معمولی، انواع مسائل مقدار مرزی، ویژه مقداری و وابسته به زمان در نرم افزار چبفان است.

‎ در این پایان نامه کاربرد روش هم محلی اسپلاین بر روی یک افراز یکنواخت برای حالت خاص معادلات انتگرال ولترای خطی نوع دوم که به معادله کوردیال معروف است ، مورد بررسی قرار خواهدگرفت. عملگر انتگرالی مربوط به این دسته از معادلات یک عملگر نافشرده است. تحت شرایط خاص ، روش هم محلی قطعه ای ثابت ، قطعه ای خطی و قطعه ای درجه دوم برای تقریب جواب این معادله قابل به کارگیری است. مطالعه و آنالیز روش های مرتبه ی بالاتر کاری مشکل و پیچیده می باشد. به علاوه بررسی عددی روش نسبتا ساده است و با مثال هایی عددی توضیح داده خواهد شد. هم چنین در مورد قابلیت کاربردی روش روی معادلات انتگرال ولترا با هسته ضعیف منفرد بحث کرده ایم و با انتخاب خاصی از پارامترهای هم محلی ، فوق همگرایی روش تحت شرایط خاصی روی جواب واقعی به دست خواهد آمد.

دراین‎ پایان نامه ، به معرفی یک روش بدون شبکه خطوط برای حل عددی معادله کورتوگ-دی وریز‎ می پردازیم. برتری این روش جدید نسبت به روش های سنتی بدون شبکه خطوط ، که از تقریب مشتق فضائی با استفاده از روش تفاضل متناهی‎‎‎ یا روش عناصر متناهی‎ استفاده می کردند ، عدم نیاز به به شبکه بندی دامنه ، و استفاده از توابع پایه شعاعی برای تقریب جواب در مجموعه نقاط پراکنده شده در دامنه مساله می باشد. مقایسه میان تعدادی از توابع پایه شعاعی در مثال های عددی آورده شده است. مثال های عددی نشان دهنده دقت و پیاده سازی آسان این روش جدید و کارآمدی آن برای معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی وابسته به زمان می باشد

در این پایان نامه بی-اسپلاین های درجه دوم و سوم بر روی افرازهای غیریکنواخت با دقت بهینه پیاده سازی خواهند شد. ابتدا روش های هم محلی اسپلاین درجه دوم وسوم را بر روی افرازهای غیر یکنواخت تعریف کرده، سپس با ایجاد شرایط انتهایی مناسب برای این اسپلاین ها، مشتقات جواب با دقت بالا تقریب زده می شوند. در ادامه با به کارگیری این تقریب ها روش هایی با دقت بهینه بر پایه ی بی-اسپلاین درجه دوم و سوم برای حل معادلات دیفرانسیل ایجاد خواهند شد. در این تحقیق همگرایی روشهای ایجاد شده به تفصیل مورد برررسی قرار خواهد گرفت و سرانجام با انجام آزمایشهای عددی، درستی کران های خطای به دست آمده مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

در این پایان نامه حل عددی معادله انتگرال ولترای غیرخطی با هسته منفرد ضعیف مورد مطالعه قرار می گیرد. به دلیل رفتار منفرد جواب معادله در نزدیکی مبدا ، مرتبه همگرایی سراسری روش های انتگرال حاصل ضربی و هم محلی بهینه نیستند. به منظور به دست آوردن مرتبه بهینه ، یک روش هم محلی مورد استفاده قرار می گیرد که یک تقریب چندجمله ای روی اولین زیربازه را با روش هم محلی چندجمله ای قطعه ای روی یک افراز درجه بندی شده ترکیب می کند. کران خطا و مرتبه همگرایی برای روش به صورت نظری بررسی شده است. برخی مثال های عددی که نتایج نظری و عملکرد روش را نشان می دهد شرح داده شده و با روش هم محلی درجه بندی شده استاندارد مقایسه شده است.

در این پایان نامه، معادله ی موج همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه در نظر گرفته شده است‎.‎ ابتدا حل تقریبی معادله موج با استفاده از روش گالرکین پیوسته مطالعه شده و پایداری و تخمین خطای پیشین مورد بررسی قرار گرفته است‎،‎ سپس حل تقریبی معادله با استفاده از روش گالرکین ناپیوسته بررسی و مرتبه ی بهینه ی تخمین خطای پیشین محاسبه می شود‎.‎ در پایان تلفیقی از روش های گالرکین پیوسته و ناپیوسته را مورد مطالعه قرار داده و پایداری و همگرایی و دقت این روش اثبات می شود

جواب تحلیلی بیشتر معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری بر حسب تابع میتاگ-لفلر بیان می شود. یک رده ی توانا از روش ها برای محاسبه ی توابع خاص و به ویژه تابع میتاگ-لفلر بر پایه ی وارونه سازی عددی تبدیل لاپلاس است. این کار با انتخاب یک مسیر مناسب مانند سهمی برای انتگرال برامویچ و استفاده از کوادراتورهای عددی انجام می شود. انتخاب بهینه از پارامترهای گسسته سازی بسیار با اهمیت است. تحلیل خطای این روش نشان می دهد که تحت شرایط خاص، همگرایی خطا نمایی می باشد.

در این پایان نامه از میان روش های تقریب به بحث در مورد روش گالرکین با استفاده از توابع پایه سینک برای حل مساله مقدار مرزی مرتبه چهارم در حالت خطی و غیرخطی می پردازیم. روش سینک را بر پایه هر دو نوع تبدیل نمایی یگانه و دوگانه برای شرایط مرزی همگن و ناهمگن به کار خواهیم برد. همگرایی روش را به صورت تحلیلی بررسی کرده و نشان می دهیم مرتبه همگرایی نمایی است. در نهایت با حل چند مثال از مساله مقدار مرزی دقت و کارایی و همچنین نمایی بودن مرتبه همگرایی روش را به صورت عددی بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا تقریب سینک را بررسی نموده سپس حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم را با استفاده از روش هم محلی سینک ارائه می دهیم. همچنین همگرایی تقریب سینک را برای این دسته از معادلات انتگرالی به صورت تحلیلی بررسی کرده و نشان می دهیم مرتبه همگرایی نمایی می باشد. در بخش پایانی مثال هایی را با روش حاصله حل کرده و نشان خواهیم داد که تقریب سینک برای مدل مورد نظر دارای دقت بالایی می باشد و نتایج عددی عملا نتایج نظری را به اثبات می رسانند.

در این پایان نامه به طور مختصر به معرفی موجک و نحوه ی ساختن آن می پردازیم. در ادامه موجک های دوبار متعامد و نحوه ساخت آن با توجه به آنالیز چندریزه سازی مربوطه ارائه می شود. سپس با استفاده از پایه های موجک دوبار متعامد، روش پترو-گالرکین را برای حل معادله KdV به کاربرده و در ادامه همگرایی و پایداری روش برای معادله KdV مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

روش تفاضلات متناهی یکی از پرکاربرد ترین روشهای حل مسائل مقادیر مرزی است. در این پایان نامه به حل دو مساله مقدار مرزی منفرد که کاربردهایی در فیزیولوژی دارند پرداخته شده است. همگرایی روش مذکئر نیز به تفصیل بیان و اثبات گردیده است