Shahrokh Esmaeili

Transport accessibility and urban-rural connectivity are seen as critical aspects of rural economic development. In the transit network, passenger flow between urban-rural corridors demonstrates directional imbalances and low utilization of scarce resources. Freight transportation, on the other hand, lags due to poor geography, high operating costs, and scattered demand. This paper proposes a new mode of public transit that integrates passenger and freight transport, providing a carrier for logistics while compensating for the low utilization of passenger transport. In this mode, each timetabled round trip is divided into one dedicated passenger trip with high demand and one mixed-flow trip with on-demand requests. A space-time-state network is constructed considering the picking-up time window, loading/unloading service time, and electric bus energy replenishment. A mixed-integer linear programming model is developed to optimize the bus schedule that covers the travel demands and the charging requests with minimized travel costs. A Lagrangian relaxation framework with a dynamic programming algorithm and sub-gradient method is presented for problem-solving. The real-life rural-urban transport instance and a simulated network demonstrate the operation of the new mode and validate the efficiency of the proposed method. The innovative concept and the optimization framework are expected to serve as a reference for public administration to alleviate passenger and freight transportation bottlenecks in the urban-rural context.

‎Ellipse fitting is a crucial technique in computer vision and automated manufacturing‎. ‎However‎, ‎errors introduced during image edge detection‎, ‎particularly outliers‎, ‎can significantly degrade the performance of ellipse fitting procedures‎. ‎To address the impact of outliers‎, ‎this thesis proposes a robust ellipse fitting method with the following key contributions‎: ‎First‎, ‎to enhance robustness against outliers‎, ‎we integrate the maximum correntropy criterion into the constrained least-square (CLS) ellipse fitting method and employ the half-quadratic optimization algorithm to solve the resulting nonlinear and nonconvex problem iteratively‎. ‎Second‎, ‎to ensure the solution corresponds to an actual ellipse‎, ‎we incorporate a unique quadratic equality constraint into the CLS model‎, ‎leading to a nonconvex quadratically constrained quadratic programming problem‎. ‎Finally‎, ‎we develop a semidefinite relaxation of this problem using the trace operator‎, ‎enabling us to determine the ellipse parameters through semidefinite programming‎. ‎The effectiveness of the proposed approach is demonstrated through both simulated and experimental examples‎.

یادگیری ماشین که پیشرفت‌های نظری زیادی ایجاد کرده است و به‌طور گسترده در زمینه‌های مختلف کاربرد دارد، به‌سرعت در حال توسعه است. بهینه‌سازی به‌عنوان بخش مهمی از یادگیری ماشین توجه بسیاری از پژوهشگران را به خود جلب کرده است. با رشد تصاعدی حجم داده‌ها و افزایش پیچیدگی مدل، روش‌های بهینه‌سازی در یادگیری ماشین با چالش‌های بیشتری مواجه می‌شوند. کارهای زیادی بر روی حل مسائل بهینه‌سازی یا بهبود روش‌های بهینه‌سازی در یادگیری ماشین به‌طور پیاپی پیشنهاد شده است. مرور اصولی و خلاصۀ روش‌های بهینه‌سازی از دیدگاه یادگیری ماشین از اهمیت زیادی برخوردار است، چرا که می‌تواند راهنمایی‌هایی را برای پیشرفت‌های بهینه‌سازی و پژوهش‌های یادگیری ماشین ارائه دهد. در این پایان‌نامه ابتدا مسائل بهینه‌سازی در یادگیری ماشین شرح داده می‌شوند. سپس به معرفی اصول و پیشرفت روش‌های بهینه‌سازی رایج می‌پردازیم.

در این پایان‌نامه، محاسبه تابع میتاگ-لفلر با شناسه‌های ماتریسی، و برخی از کاربردهای آن در حسابان کسری بحث شده است. به‌طور کلی، مقداریابی یک تابع اسکالر در شناسه‌های ماتریسی ممکن است بسته به طیف ماتریس به محاسبۀ مشتق‌های مرتبۀ بالا نیاز داشته باشد. در مورد تابع میتاگ-لفلر، محاسبۀ عددی مشتق‌های دلخواه آن یک موضوع کاملاً کاوش نشده است. در این پایان‌نامه ضمن پرداختن به این موضوع، سه روش مختلف طراحی و بررسی شده است. به منظور ابداع الگوریتمی با دقت بالا، این روش‌ها با یک روش اصلی موازنه‌سازی مشتق‌ها ترکیب می‌شوند. آزمایش‌های عددی نشان می‌دهد که الگوریتم پیشنهادی دقت بالایی را ارائه می‌دهد که اغلب در حد دقت ماشین است.

اصل استاندارد در طراحی فرمول های کوادراتور این است که آنها باید برای انتگرالده های یک ردۀ معین، مانند چندجمله ایهای درجۀ ثابت، درست باشند. این موضوع را از این دیدگاه بررسی می کنیم و نشان می دهیم که این اصل نمی تواند رفتار واقعی را در چهار مورد از معروف ترین کوادراتورها یعنی نیوتن-کوتس، کلنشا-کرتیس، گاوس-لژاندر، و گاوس-ارمیت پیش بینی کند. نتایج جدید شامل این موارد است: (الف) فرمول نیوتن-کوتس به طوردقیق از تک جمله ای $x^k‎$‎ انتگرال گرفت ، هرچند برای ‎$‎‎‎T_k(x)‎$‎‎‎ نتوانست؛ (ب) یک نوع بدون پارامتر از کوادراتورهای با کران محدود برای انتگرالده های دلخواه معرفی و مشخص شد که دارای ضریب مزیت ‎$‎\frac{‎\pi}{2}‎$‎‎‎ نسبت به کوادراتور گاوس در انتگرال گیری از نمایی های مختلط است؛ (پ) قضیه ای معرفی شد که نشان می دهد با برش خط حقیقی به یک بازۀ متناهی، همگرایی $‎\mathcal{‎‎O}(‎\‎exp(-Cn^‎\frac‎{2}{3}))‎$‎ برای کوادراتور ‎$‎‎‎n‎$‎‎‎ نقطه ای از انتگرالده های گاوس-ارمیت به دست می آید، درحالی که برای فرمول گاوس-ارمیت فقط ‎‎$‎\mathcal{‎O}‎(-‎\‎exp(-Cn^\frac{1}{2}))‎$ است؛ و (ت) توضیحی در مورد اینکه چگونه این نتیجه با «بهینگی» فرمول گاوس-ارمیت مطابقت دارد.

در دهۀ گذشته، نظریۀ ریاضی یادگیری ماشین به مراتب از پیشرفت های شبکه های عصبی عمیق در چالش های عملی جامانده و یادگیری ماشین نظری را با یک بحران مواجه کرده است. بااین حال، شکاف بین نظریه و عمل به تدریج در حال از بین رفتن است. در این پژوهش سعی می شود تا چند مفهوم ریاضی قابل توجه و در حال رشد را که از تلاش برای درک مبانی یادگیری عمیق پدید آمده اند، جمع آوری کنیم. دو موضوع کلیدی در این زمینه درونیابی و همزاد آن بیش پارامتری خواهد بود. درونیابی با برازش دقیق داده ها، حتی داده های نوفه ای متناظر است. بیش پارامتری درونیابی را شدنی می کند و انعطاف پذیری را برای انتخاب یک مدل درونیابی مناسب فراهم می کند‎.‎ ‎ ‎‎‎همان طور که یک منشور فیزیکی واقعی رنگ های مخلوط شده در یک پرتو نور را جدا می کند، منشور تمثیلی درونیابی نیز به تفکیک ویژگی های تعمیم و بهینه سازی در تصویر پیچیدۀ یادگیری ماشین نوین کمک می کند. این پژوهش با این باور و امید انجام می شود که درک واضح تری از این مسائل ما را به سمت نظریۀ عمومی یادگیری عمیق و یادگیری ماشین نزدیک تر می کند.

ماتریس های واندرموند به طور نمایی بدوضع هستند. این موضوع الگوریتم های معروف مانند polyfit و ‎polyval را برای درونیابی چندجمله ای و برازش کمترین مربعات در درجه های بالاتر بی فایده می سازد. در این پایان نامه نشان داده می شود که متعامدسازی آرنولدی این مشکل را بر طرف می کند. این روش به طور ضمنی به ساختن چندجمله ای های متعامد گسسته از طریق متعامدسازی استیلتیس اشاره دارد.

در این پایان نامه، چند نوع از چندجمله ای های متعامد در بازه های متناهی مورد بررسی قرار گرفته است و فرمول های کوادراتور متناظر با آن ها از نوع گاوسی برای محاسبۀ عددی کارایی از انتگرال های کسری ریمان-لیوویل چپ و راست استخراج شده اند. علاوه بر این، خانواده ای از کوادراتورهای غیراستاندارد گاوس- ژاکوبی-لوباتو برای محاسبۀ عددی مشتق کسری متداول نیز به دست آمده اند. چندین مثال عددی برای نشان دادن کارایی عددی شیوۀ پیشنهادی ارائه شده است.

تقریب های چندجمله ای که با استفاده از رویکرد حداقل مربعات ساخته شده اند، یک فن فراگیر را در محاسبات عددی تشکیل می دهند. یکی از ساده ترین راه های تولید داده برای مسائل کمترین مربعات، نمونه گیری تصادفی از یک تابع است. در این پایان نامه، در مورد نظریه و الگوریتم ها برای پایداری مسئله کمترین مربعات با استفاده از نمونه های تصادفی بحث می شود. آموزۀ اصلی بحث این است که چگالی سرراست استاندارد شهودی برای نمونه گیری ، پی درپی تقریب های غیربهینه نتیجه می دهد، در حالی که نمونه گیری از یک چگالی غیراستاندارد موسوم به توزیع القاشده، تقریب های نزدیکِ بهینه ارائه می دهد. یک نظریۀ جدید که نشان می دهد چرا نمونه گیری از توزیع القاشده بهینه است ارائه شده و برای پشتیبانی از این نظریه چندین آزمایش عددی در پایان نامه انجام شده است.

در این پایان نامه، مسئله تجزیه نامنفی ماتریسی با فرض تفکیک پذیری مطالعه می شود. تفکیک پذیری به این معنی است که با زیرمجموعۀ کوچکی از ستون های ماتریس داده های نامنفی ورودی مخروطی شامل تمام ستون ها پدید می آید. این مسئله با ناآمیختگی فراطیفی تحت مدل آمیختگی خطی و فرض عضو خالص معادل است. یک خانواده از الگوریتم های بازگشتی سریع ارائه و ثابت می شود که آنها تحت هرگونه اختلال کوچک در ماتریس داده ورودی استوار هستند. این خانواده چندین الگوریتم ناآمیختگی فراطیفی موجود را تعمیم می دهد و از این رو برای نخستین بار توجیه نظری عملکرد عملی بهتر آن ها را ارائه می دهد.

ماتریس های (تقریباً) کم رتبه در علوم داده به طور فراگیر در اولویت بندی فیلم ها، اسناد متنی، داده های نظرسنجی ، سوابق پزشکی و ژنوم شناسی ظاهر می شوند. درحالی که نوشتجات گسترده ای در مورد نحوه بهره برداری از ساختار کم رتبه در این مجموعه داده ها وجود دارد ، به توضیح اینکه در درجۀ اول چرا ساختار کم رتبه ظاهر می شود ، توجه کمتری شده است. در این پایان نامه، با درنظر گرفتن یک مدل سادۀ سازنده کار‎‎ایی مدل های کم رتبه در علوم داده برای این ماتریس ها شرح داده می شود: هر سطر یا ستون به یک متغیر پنهان کراندار (شاید با ابعاد بالا) مربوط شده است ، و درایه های ماتریس با استفاده از یک تابع تحلیلی تکه ای روی این متغیر های پنهان ایجاد می شوند. این ماتریس ها در حالت کلی رتبۀ کامل دارند. با وجود این ، هر درایه از یک ماتریس ‎$m\times n $‎ کشیده شده از این مدل را می توان با یک خطای مطلق ثابت توسط یک ماتریس کم رتبه که رتبه آن به ‎$\mathcal{O}\left( ‎\‎log\left( m+n \right) \right) $‎ افزایش می یابد ، تقریب زد. بنابراین هر ماتریس به اندازه کافی بزرگ از چنین مدل متغیر پنهانی را می توان، تا یک خطای کوچک درایه ای، با یک ماتریس کم رتبه تقریب زد.

این پایان‎ ‎نامه بررسی و تفسیری از گذشته، حال و آیندۀ الگوریتم های بهینه سازی عددی را فراهم می کند که در زمینه کاربردهای یادگیری ماشین باشند. با مطالعه های موردی دربارۀ طبقه بندی متن و آموزش شبکه های عصبی ژرف، روی این موضوع بحث خواهد شد که مسائل بهینه سازی چگونه در آموزش ماشین پدید می آیند و چه چیزی آنها را دشوار خواهد کرد. یک موضوع مهم در این مطالعه آن است که یادگیری ماشین بزر‎گ‎ مقیا‎س‎ محیط متمایزی را نشان می دهد که در آن روش گرادیان تصادفی‎‎ ‎‎SG)‎) به طور مرسوم نقش اصلی را بازی می کند، در حالی که شگردهای متداول بهینه‎ سازی غیرخطی بر پایۀ گرادیان، معمولاً متزلزل می شوند. بر این اساس، یک نظریۀ جامع از الگوریتمی ساده و در عین حال چندکارۀ ‎SG ارائه می شود، رفتار عملی آن بحث می شود، و فرصت هایی برای طراحی الگوریتم ها با اجرای بهتر برجسته خواهند شد. این دیدگاه منجر به بحث در مورد نسل جدیدی از روشهای بهینه سازی برای یادگیری ماشین بزر‎گ‎ مقیا‎س‎ می شود که شامل بررسی دو جریان عمده پژوهشی روی شگردهایی است که موجب کاهش نوفه در جهتهای تصادفی و استفاده از تقریب های مشتق مرتبۀ دوم می شود

در این پایان نامه ، جواب عددی معادله های دیفرانسیل کسری با استفاده از روشهای بازگشتی ‎‎‎m‎‎ گامی بررسی می شود. چنین فرمولهایی را می توان به راههای گوناگونی ساخت. در این پایان نامه یک ‎روش مبتنی بر تقریب گویای تابع های مولد فرمولهای مشتق گیری پسرو کسری مطالعه می شود. تقریبهای دقیق منجر به تعریف روشهایی می شود که فرمولهای مشتق گیری پسرو کسری زیربنائی را با مزیتهای محاسباتی مهم شبیه سازی می کنند. آزمایشهای عددی نیز ارائه شده است.

الگوریتم‎‎ های جبر خطی عددی در چندین زمینه از داده کاوی مهم هستند. در این پایان نامه ، یک مرور کلی از روشهای جبر خطی در متن کاوی (بازیابی اطلاعات)، تشخیص الگو (طبقه بندیِ ارقام دست نویس) و محاسبات رتبۀ صفحه ای برای موتورهای جستجوگر وب ارائه می دهیم. اهمیت کاهش رتبه به عنوان روشی برای استخراج اطلاعات از یک ماتریس داده، تقریب کم-رتبۀ ماتریسها با استفاده از تجزیۀ مقدار تکین و خوشه بندی ، و روی روشهای ویژه مقداری برای تحلیل شبکه مورد بحث قرار گرفته است‎.‎

در این پایان نامه، الگوریتم های توسعه یافته برای تجزیۀ نامنفی ماتریسی ‎(NMF)‎ از یک دیدگاه واحد براساس چارچوب کاهشی مختصاتی بلوکی (BCD)‎ را مرور می کنیم. ‎NMF‎ یک روش تقریب کم-رتبه برای ماتریسها است که در آن عامل های کم-رتبه تنها باید عناصر نامنفی داشته باشند. نشان داده شده است که قیدهای نامنفی تعبیر طبیعی را امکان پذیر می سازند و جوابهای بهتری را در کاربردهای متعدد از جمله تحلیل متن، بینایی رایانه ای و بیوانفورماتیک ارائه می دهند. با وجود این، محاسبۀ ‎NMF به دلیل قیدها همچنان چالش برانگیز و پرهزینه است. رویکردهای الگوریتمی متعددی برای محاسبۀ کارآمد ‎NMF ارائه شده است. چارچوب ‎BCD در بهینه سازی غیرخطی مقید، وِیژگی های همگرایی نظری چندین الگوریتم کارآمد ‎NMF را به آسانی توضیح می دهد، که با مشاهدات تجربی گزارش شده در ادبیات موضوع سازگار است.

در این پایان نامه ، یک الگوریتم جدید برای تقریب با توابع گویا روی مجموعۀ اعداد حقیقی یا مختلط مطالعه می شود که با ‎‎40‎‎ خط کد متلب پیاده سازی شده است و به پارامترهای ورودی نیازی ندارد. ‎این‎ الگوریتم روی یک گوی یا بازه می تواند از روش های موجود بهتر، و روی دامنه های پیچیده تر قابل رقابت باشد. ایده های اصلی در این الگوریتم عبارتند از: ‎(1)‎ نمایش تقریب های گویا به شکل گرانیگاهی با درونیابی در نقاط گره ای معین و ‎(2)‎ انتخاب نقاط تکیه گاهی به روش حریصانه برای اجتناب از ناپایداری‎ های نمایی. این الگوریتم که AAA نام دارد مخفف «آنتولاس-اندرسن تطبیقی» ‎‎‎‎و به افتخار نویسندگانی است که بر پایۀ ایدۀ (1)‎ روشی را معرفی کرده اند. هستۀ الگوریتم ‎‎‎‎با کد متلب و هفت کاربرد آن در مسائل گوناگون ارائه می شود. این الگوریتم با RKFIT و ‎دیگر‎ روشهای موجود برای تقریب گویا مقایسه خواهد شد.

در این پایان نامه قیمت یک اختیار آمریکایی که بر اساس پرداخت سود سهام نزدیک به انقضا نوشته شده است با یک روش مجانبی تحلیلی تقریب می شود. این کار با استفاده از معادلۀ گرمای هم ارز با معادلۀ دیفرانسیل جزئی بلک -شولز که روی یک دامنۀ مکانی بی کران تعریف شده است، و تقسیم آن را به مسئله های درونی و بیرونی انجام می شود. روش ارائه شده توسط هان و وو ، که‎ در آن با فرض صفر بودن شرط اولیه یک شرط مرزی شفاف دارای حافظۀ تکین ضعیف به دست می آید ، تعمیم داده می شود. نخست این شرط مرزی شفاف در حالت کلی استخراج می شود ، سپس بر روی مسئله بیرونی ، با یک نسخۀ ناتکین معادل از شرط مرزی شفاف که برای اهداف تحلیلی راحت تر به کار می رود ، تمرکز می شود. ‎در ادامه جواب عمومی مسئله بیرونی به شکل یک سری از «انتگرال های مکرر ‎متمم تابع خطا‎» که در شرط مرزی شفاف معادل نیز صدق می کند ، ‎‎به دست می آید. گام بعدی ، استفاده از ابزار بسط مجانبی پوانکاره و گرفتن «زمان انقضا» به عنوان پارامتر بسط است. جملۀ عمومی این سری به فرم بسته در حالتی که نرخ بهره بدون ریسک (‎r)‎ کمتر از سود سهام (d‎) باشد ، به دست می آید. به روشی مشابه و در حالت عکس ‎‎(‎r>d) ، پنج جملۀ اول سری نیز به دست می آید. ویژگی های همگرایی سریهای به دست آمده تحت شرایطی کلی به طور دقیق اثبات شده است. آزمایش های عددی بر اساس سریهای مجانبی به دست آمده نشان می دهند که روش ارائه شده ، در ارزیابی طیف وسیعی از مسائل اختیار آمریکایی موفق و کارا عمل کرده است.

محاسبۀ تقریبهای مینیماکس گویا ، وقتی تکینی هایی روی بازه تقریب یا در نزدیکی آن وجود داشته باشد ، ممکن است بسیار چالش انگیز باشد-این دقیقاً حالتی است که توابع گویا با اختلاف بسیار زیاد عملکرد بهتری نسبت به چندجمله ایها دارند. در این پایان نامه نشان داده می شود که الگوریتم های کاراتری ، نسبت به آنچه در دسترس قرار دارند ، را می توان با استفاده از نمایش های گرانیگاهی ساخت که در آنها نقاط تکیه گاهی با سبکی تطبیقی و در خلال محاسبۀ تقریب به دست می آیند. سه نوع از این خط مشی گرانیگاهی نشان داده اند که قدرتمندند: (1) الگوریتم رمز کلاسیک ، (2) روش ‎-AAA‎لاوسن از کمترین مربعات بازموزون تکراری و (3) الگوریتم تصحیح دیفرانسیلی. ترکیب پیشنهاد شده ، که در کد minimax چبفان‎ پیاده سازی شده است ، استفاده از (2) در مرحلۀ مقدار دهی اولیه و سپس به خط (1) انداختن فرایند برای همگرایی مرتبه دوم است. با چنین روشهایی می توان تقریبهای گویا تا نوع ‎‎‎(80,80)‎‎ از ‎‎|x|‎‎‎ روی ‎‎‎[-1,1]‎‎‎ را در حساب ممیز شناور ‎‎‎‎‎16‎‎‎‎ استاندارد محاسبه کرد ، مسئله ای که وارگا ، روتمن و کارپنتر برای حل آن ‎به‎ دقت ‎‎200‎‎ رقمی توسعه یافته نیاز داشتند.

سیستم های توصیه گر یکی از موفق ترین ابزارها برای مقابله با سرریز داده ها شناخته می شوند که روزبه روز استفاده از آن ها گسترده تر می شود. این سیستم ها یک نوع ویژه از سیستم های پالایش اطلاعات هستند که آیتم ها را بر اساس جذابیت آن ها برای کاربر از یک مجموعه بزرگ از آیتم ها پالایش می کنند. این سیستم ها سعی دارند، بر اساس عملکرد، سلیقه های شخصی، رفتارهای کاربر و بسته به زمینه ای که در آن مورد استفاده قرار می گیرند به هر کاربر پیشنهادهایی را ارائه دهند که با تمایلات شخصی وی تطابق داشته و کاربر را در فرایند تصمیم گیری یاری نمایند. سیستم های توصیه گر پالایش گروهی یکی از پرکاربردترین و مؤثرترین روش های توصیه محسوب می شوند که با بررسی انتخاب های کاربران در گذشته، الگوهایی را در داده ها پیدا می کنند که با توجه به آن الگوهای رفتاری برای هر کاربر توصیه مناسب را ارائه می دهند. روش های مبتنی بر پالایش گروهی معمولاً از سه مشکل اصلی رنج می برند که شامل: شروع سرد، پراکندگی داده ها و مقیاس پذیری کم می باشند. در راستای برطرف نمودن چالش های گفته شده، این پایان نامه، دو روش جدید مبتنی بر تجزیه نامنفی ماتریس و اطلاعات اعتماد کاربران در شبکه های اجتماعی، ارائه می شود. چون روش تجزیه نامنفی ماتریس یکی از کاراترین روش های مبتنی بر مدل برای سیستم های توصیه پالایش گروهی است، لذا از اطلاعات اعتماد و عدم اعتماد بین کاربران برای کمک به تجزیه درست و دقیق ماتریس رتبه بندی، استفاده می کنیم تا رتبه های نامشخص برای کاربران و آیتم هایی که شروع سرد دارند با دقت مناسبی پیش بینی شود و در برخورد با داده های پراکنده، بتوان با دقت مناسبی سلیقه کاربر هدف را تخمین زد. همچنین برای افزایش مقیاس پذیری و کاهش پیچیدگی الگوریتم ها از روش های بهینه سازی کارآمد برای حل تابع هدف نهایی استفاده می شود. بعلاوه، سیستم های توصیه گر به دلیل پویا بودن محیط و افزایش سریع اطلاعات، روزبه روز فضای مسئله آن ها بزرگ تر می شود، لذا الگوریتم های دقیق (ریاضی) در حالات مختلفی نمی توانند جواب بهینه را تولید کنند و دنبال کردن جواب دقیق در اکثر مواقع خیلی سخت و پرهزینه است. بعلاوه، در اکثر موارد جواب تقریبی و نزدیک به جواب واقعی، می تواند برای ما رضایت بخش باشد. بنابرین، دو روش پیشنهادی جدید مبتنی بر الگوریتم های فراابتکاری ارائه می شود که

دراین پایان نامه، حل عددی معادلات هذلولوی دوبعدی با استفاده از روش کوادراتور دیفرانسیلی بر اساس بی-اسپلاین درجه سوم اصلاح شده مورد مطالعه قرار می گیرد. این روش، مساله ی هذلولوی ‎(هایپربولیک)‎ را به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی تبدیل کرده و دستگاه حاصل با استفاده از روش رونگه-کوتای بهینه ی چهار مرحله ا ی مرتبه سه حافظ پایداری قوی حل می شود. سپس خطای حاصل از به کارگیری این روش مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین پایداری روش مورد بررسی قرار گرفته و نشان داده می شود که روش به طور نامشروط پایدار است. در پایان،کارایی روش با استفاده از مثال هایی نشان داده می شود.

در این پایان نامه، گسسته سازی طیفی عملگر های مشتق کسری مورد بررسی قرار می گیرد که در آن پایه تقریب به مجموعه چندجمله ای های ژاکوبی مرتبط است. روش شبه طیفی با این فرض اجرا می شود که نقاط نمایش تابع و گره های هم مکانی ممکن است یکسان نباشند. این اختیار جدید راه را برای تجزیه و تحلیل شگردهای جایگزین و جستجوی توزیع های بهینه از گره های هم مکانی‎ ‎ ، باز می کند. هنگامی که نقاط نمایش انتخاب شد ، با هدف توسعۀ بعد فضای تقریب ، روش هایی برای چگونگی بازیابی گره های هم مکانی ارائه می شود. به عنوان نتیجه ای از این فرایند ، کارایی بهبود می یابد. کاربردهایی در نوع کسری معادله پهن رفت-پخش و مقایسه هایی از نظر دقت و کارایی ارائه شده است. همانطور که در تجزیه و تحلیل ها نشان داده می شود ، انتخاب های خاص از گره ها می تواند ترفندهایی را برای سرعت بخشیدن به محاسبات پیشنهاد دهد.

شرایط مرزی در روش های هم مکانی طیفی به طور معمول با حذف سطرهایی از عملگر دیفرانسیلی گسسته شده و جایگزین کردن آنها با شرایط مورد نیاز در مرز اعمال می شوند. در این پایان نامه یک روش جدید بر مبنای نمونه گیری مجدد از مشتق چندجمله ایها در میان یک زیرفضای درجه پایین تر مطالعه می شود که ماتریس های مشتقگیری و عملگرهای ساخته شده از آنها را بدون حذف هیچ سطری مستطیلی می کند. پس از آن، با الحاق شرایط مرزی و رابط می توان به یک دستگاه مربعی دست یافت. روش به دست آمده انعطاف پذیر و قوی است، و از ابهامات ناشی از به کارگیری روش متداول حذف سطر در غیر از مسائل مقدار مرزی اسکالر دو نقطه ای، دوری می کند. این روش جدید مبنای حل معادلات دیفرانسیل معمولی، انواع مسائل مقدار مرزی، ویژه مقداری و وابسته به زمان در نرم افزار چبفان است.

در این پایان نامه، روش گالرکین ناپیوسته به عنوان یک روش عنصر متناهی و یک روش تفاضل متناهی مرتبه دو (کرانک-نیکلسون) برای حل معادلات موج کسری مطالعه و خواص و تفاوت های این دو روش با هم مقایسه می گردد. ابتدا به کمک حسابان کسری خواص مهمی از مساله مورد مطالعه بررسی می گردد. سپس روش های تفاضل متناهی مرتبه دو و گالرکین ناپیوسته برای حل مساله مدل به کار می رود و پایداری روش ها اثبات می گردد. هم چنین آنالیز خطای روش های یادشده انجام می گیرد و کران خطا برای این روش ها ارائه می گردد.

‎ در این پایان نامه کاربرد روش هم محلی اسپلاین بر روی یک افراز یکنواخت برای حالت خاص معادلات انتگرال ولترای خطی نوع دوم که به معادله کوردیال معروف است ، مورد بررسی قرار خواهدگرفت. عملگر انتگرالی مربوط به این دسته از معادلات یک عملگر نافشرده است. تحت شرایط خاص ، روش هم محلی قطعه ای ثابت ، قطعه ای خطی و قطعه ای درجه دوم برای تقریب جواب این معادله قابل به کارگیری است. مطالعه و آنالیز روش های مرتبه ی بالاتر کاری مشکل و پیچیده می باشد. به علاوه بررسی عددی روش نسبتا ساده است و با مثال هایی عددی توضیح داده خواهد شد. هم چنین در مورد قابلیت کاربردی روش روی معادلات انتگرال ولترا با هسته ضعیف منفرد بحث کرده ایم و با انتخاب خاصی از پارامترهای هم محلی ، فوق همگرایی روش تحت شرایط خاصی روی جواب واقعی به دست خواهد آمد.

بسیاری از مسائل در علم و فناوری می توانند به شکل معادلات دیفرانسیل با مشتق های مکان و زمان کسری نوشته شوند. برای شبیه سازی دقیق پدیده های طبیعی با این فناوری گسسته سازی ظریف مکان و زمان نیاز است. این کار به دستگاه های خطی یا معادلات ماتریسی بزرگ منجر می شود، به ویژه هنگامی که بیش از یک بعد مکانی در نظر گرفته شود. گسسته سازی معادلات دیفرانسیل کسری در حالت ضرایب ثابت اغلب شامل ماتریس های چگال با یک ساختار توپلیتس است. در این پایان نامه، حل کارای این مسائل از نظر زمان اجرا و حافظه مورد نیاز مدنظر می باشد. به همین منظور، محاسبات سریع ماتریس های توپلیتس و پیش بهبود دهنده های دوری شان با جدیدترین روش های حل معادلات خطی ماتریسی ترکیب می شود. بعلاوه، تطبیق این روش ها برای حالت ضرایب متغیر نیز بحث خواهد شد. مثال های عددی ارائه شده کارآمدی روش های معرفی شده را نشان می دهند.

در این پایان نامه ، انتگرالگیرهای نمایی کسری برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری بررسی می شود. معادلات دیفرانسیل جزئی زمان-کسری پس از گسسته سازی با روش های متداول به یک مسئله نیمه خطی مقدار اولیه تبدیل می شوند و برای حل آن انتگرالگیرهای گام-زمانی را می توان به کار گرفت. انتگرالگیرهای نمایی بر مشکل پایداری فائق می آیند ، زیرا جملات خطی و معمولاً سرسخت با تابع میتاگ-لفلر‎‎ به طور دقیق حل می شود و محدودیت های قوی روی طول گام چندان ضروری نمی باشد. از طرف دیگر ، برای جمله ی غیرخطی انتگرالگیرهای صریح به کار گرفته می شود. تحلیل خطای این روش نشان می دهد که انتگرالگیرهای نمایی کسری تحت شرایطی روش هایی همگرا می باشند‎.

در این پایان نامه حل عددی معادله انتگرال ولترای غیرخطی با هسته منفرد ضعیف مورد مطالعه قرار می گیرد. به دلیل رفتار منفرد جواب معادله در نزدیکی مبدأ ، مرتبه همگرایی سراسری روش های انتگرال حاصل ضربی و هم محلی بهینه نیستند. به منظور به دست آوردن مرتبه بهینه ، یک روش هم محلی مورد استفاده قرار می گیرد که یک تقریب چندجمله ای روی اولین زیربازه را با روش هم محلی چندجمله ای قطعه ای روی یک افراز درجه بندی شده ترکیب می کند. کران خطا و مرتبه همگرایی برای روش به صورت نظری بررسی شده است. برخی مثال های عددی که نتایج نظری و عملکرد روش را نشان می دهد شرح داده شده و با روش هم محلی درجه بندی شده استاندارد مقایسه شده است.

در این پایان نامه ، ابتدا یک مسئله منظم استورم-لیوویل ‎‎کسری حل می شود . ‎‎‎‎ویژه جواب های این مسئله توابع غیرچندجمله ای به نام چندجمله ایهای کسری ژاکوبی هستند. این ویژه تابع ها نسبت به تابع وزن معادله استورم-لیوویل متعامد می باشند. با معرفی درونیاب های جدیدی به نام درونیاب های کسری لاگرانژ ، ماتریس های مشتق کسری به دست می آید و این ماتریس ها در حل معادلات دیفرانسیل کسری استفاده می شود. روش هم مکانی طیفی با دقت نمایی برای حل مسائل مستقل از زمان و وابسته به زمان شامل معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتق مرتبه کسری اجرا می شود. نتایج‎ عددی دقت نمایی مورد انتظار در روش های طیفی را تأیید می کند.

در این پایان نامه، روش های عنصر متناهی گالرکین ناپیوسته ی ثابت (0)DG و قطعه ای خطی (1)DG برای گسسته سازی زمانی یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی کسری (معادله ی انتشار) مطالعه می شود. ابتدا خواص مهمی از مساله ی مورد مطالعه با استفاده از حسابان کسری بررسی می شوند. سپس روش های گالرکین ناپیوسته ی قطعه ای ثابت و قطعه ای خطی، برای حل عددی مساله ی مدل به کار رفته و پایداری و مرتبه ی همگرایی روشها اثبات می شود. اگر k ماکزیمم طول گام های زمانی غیر یکنواخت و h ماکزیمم قطر عناصر شبکه مکانی باشد، آنگاه برای 0>\alfa>-1 تحت مفروضات مناسب روی همواری جواب، یک کران خطای پیشین از مرتبه ی k+h^2 \max (1,|\ln | ) برای روش (0)DG و از مرتبه ی k^{3+2\alfa} \max (1,|\ln|)+h^2 برای روش (1)DG به دست می آید. آزمایش های عددی نشان می دهند که با صرفنظر از عامل های لگاریتمی، مرتبه ی همگرایی نظری به دست آمده برای روش (0)DG مناسب، اما برای روش (1)DG بهینه نیست.

جواب تحلیلی بیشتر معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری بر حسب تابع میتاگ-لفلر بیان می شود. یک رده ی توانا از روش ها برای محاسبه ی توابع خاص و به ویژه تابع میتاگ-لفلر بر پایه ی وارونه سازی عددی تبدیل لاپلاس است. این کار با انتخاب یک مسیر مناسب مانند سهمی برای انتگرال برامویچ و استفاده از کوادراتورهای عددی انجام می شود. انتخاب بهینه از پارامترهای گسسته سازی بسیار با اهمیت است. تحلیل خطای این روش نشان می دهد که تحت شرایط خاص، همگرایی خطا نمایی می باشد.

در این پایان نامه از میان روش های تقریب به بحث در مورد روش گالرکین با استفاده از توابع پایه سینک برای حل مساله مقدار مرزی مرتبه چهارم در حالت خطی و غیرخطی می پردازیم. روش سینک را بر پایه هر دو نوع تبدیل نمایی یگانه و دوگانه برای شرایط مرزی همگن و ناهمگن به کار خواهیم برد. همگرایی روش را به صورت تحلیلی بررسی کرده و نشان می دهیم مرتبه همگرایی نمایی است. در نهایت با حل چند مثال از مساله مقدار مرزی دقت و کارایی و همچنین نمایی بودن مرتبه همگرایی روش را به صورت عددی بررسی می کنیم.

در این پایان نامه از توابع مولتی کوادریک برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده شده است. تابع گاوسی بعنوان یک ابزار در حل معادلات دیفرانسیل جزئی به کار گرفته شده است. کارایی روش با مثال هایی عددی نشان داده شده است.

در این پایان نامه، روش موجک سینوسی و کسینوسی برای حل معادله ی انتگرو-دیفرانسیل فردهلم غیر خطی نوع دوم از مرتبه کسری با شرایط اولیه ارائه شده است که مشتق این معادله از نوع مشتق کسری کاپوتو می باشد. یک مجموعه از موجک های سینوسی و کسینوسی به عنوان پایه هایی برای تقریب جواب در نظر گرفته شده است. رابطه بین توابع بلاک-پالس و موجک سینوسی و کسینوسی به دست آورده می شود، سپس توابع موجود در معادله به صورت ترکیب خطی از توابع پایه ای موجک سینوسی و کسینوسی در نظر گرفته می شود، در نهایت یک دستگاه معادلات غیر خطی حاصل خواهد شد که با به دست آوردن ضرایب مجهول این دستگاه نتیجه تعیین می شود. مشخصه اصلی این روش استفاده از ماتریس عملیاتی انتگرال به منظور حذف عملگر انتگرال در معادله می باشد. در پایان نتایج عددی حاصل از این روش از لحاظ میزان دقت ارائه شده است‎.