خسرو فضلی

چکیده تجمیع، یک روش محبوب و کاربردی در آمار و یادگیری ماشینی است. با توجه به مجموعه از برآوردگرها، شامل؛ تجمیع خطی، تجمیع محدب و تجمیع انتخاب مدل یک برآوردگر جدید به نام تجمیع می سازیم که با توجه به معیار ریسک داده شده بهترین باشد. ً تجمیع معمولا با ترکیب کردن برآوردگرهای اولیه از دیکشنری با داده هایی که وابسته به وزن ها هستند، ساخته می شود. تجمیع روشی برای ساختن برآوردگرهای ناپارامتری سازگار است که از روش های کلاسیک قدرتمند تر است.

در این پایان نامه مدل دنباله ای گاوسی به صورت ‎$ y_{i} = \theta_{i}‎ + ‎\epsilon z_{i} $‎ برای ‎$ i \in I $‎ که ‎$ I $‎ یک مجموعه متناهی یا شمارای نامتناهی است و ‎$ z_{i} \stackrel{iid}\sim N({\textrm{\latin 0}}‎, ‎{\textrm{\latin 1}}) $‎، مورد مطالعه قرار می گیرد. ‎$ \theta_{i} $‎ها پارامتر مجهول و ‎$ \epsilon > {\textrm{\latin 0}} $‎ سطح اغتشاش است که فرض می کنیم معلوم است. در مدل دنباله ای گاوسی متناهی برآوردگرهای خطی از تابع تاوان درجه دوم و پیشین های گاوسی به دست می آید و برآوردگرهای غیر خطی از تابع تاوان توان اول و توان صفر مانند برآوردگر نرم آستانه و سخت آستانه، و هم چنین پیشین های آمیخته تُنُک به دست می آید. برآوردگر خطی تطبیق پذیر جیمز-استاین معرفی می شود که میانگین مربعات خطای آن از برآوردگر ماکسیمم درستنمایی کمتر است و برای برآورد بردار پارامتر مجهول ‎$ (\theta_{\textrm{\latin 1}}‎, ‎\theta_{\textrm{\latin 2}}‎, ‎\ldots‎, ‎\theta_{n}) $‎ که تُنُک نیستند مناسب است. در مدل دنباله ای گاوسی نامتناهی با انتخاب فضای پارامتر مناسب برآورد بردار نامتناهی ‎$ (\theta_{\textrm{\latin 1}}‎, ‎\theta_{\textrm{\latin 2}}‎, ‎\ldots) $‎ معرفی شده و ماکسیمم ریسک تحت فضای پارامتر بیضوی بیان می شود. همچنین در مدل رگرسیون ناپارامتری اگر نمونه برداری با فواصل یکسان باشد با انتخاب یک پایه متعامد ‎$ \{\varphi_{i}\} $‎، با مدل دنباله ای گاوسی معادل خواهد بود و می توان برآوردهای ناپارامتری مانند برآوردگر هسته را برای مدل دنباله ای به دست آورد.

در این پایان نامه، ابتدا به معرفͬ آزمون چندگانه و نوع خاصͬ از آن با عنوان ”آزمون فراگیر” مͬ پردازیم و روش هایی را برای آزمون فرض صفر فراگیر بررسͬ مͬ کنیم. همچنین به معرفͬ Higher Criticismیا آزمون معنͬ داری سطح دوم مͬ پردازیم که روشͬ برای آزمون فرض صفر فراگیر است که توسط توکͬ ارائه شده است. توکͬ در این آماره استاندارد شده ی تفاوت بین نسبتͬ از معنͬ دارهای مشاهده شده در ی ͷسطح مشخص و نسبت مورد انتظار تحت فرض صفر فراگیر را پیشنهاد داد که در مدل های آمیخته ی تنک، بسیار موثر است. روش های آزمون فرض های چندگانه از جمله ابزارهای آماری محسوب مͬ شوند که برای تحلیل داده های حاصل از بررسͬ داده های با بعد بالا مورد استفاده قرار مͬ گیرند. با توجه به اینکه در این گونه بررسͬ ها تعداد زیادی فرض به طور همزمان مورد بررسͬ قرار مͬ گیرند، احتمال تعداد خطاهای نوع اول با بزرگ شدن تعداد فرض ها، افزایش مͬ یابد. برخͬ از روش های آزمون چندگانه براساس کنترل نرخ خطای جمعͬ در این پایان نامه ارائه شده است. نخستین روش توسط بونفرونͬ ارائه گردیده که ی ͷروش تک مرحله ای است. در سال های بعد هولم و هوچبرگ با ارائه ی روش های گام به گام، روش بونفرونͬ را بهبود بخشیده و توان را افزایش داده اند. در بسیاری از مسائل کاربردی، کنترل نرخ خطای جمعͬ در سطح متعارف دشوار است به همین دلیل لهمن و رومانو نرخ خطای جمعͬ تعمیم یافته را براساس تعمیمͬ از روش های بونفرونͬ و هولم به عنوان جایͽزین نرخ خطای جمعͬ مطرح کرده اند

در این پایان نامه روش هایی برای کنترل نرخ کشف نادرست در آزمون فرض های چندگانه بررسی شده است. نرخ کشف نادرست برای اولین بار در سال 1995 توسط بنجامینی و هوچبرگ در حل مسائل آزمون فرض چندگانه معرفی شد که به عنوان جایگزین نرخ خطای جمعی شناخته شد که یک معیار بسیار محافظه کارانه میباشد. نرخ کشف نادرست که نوعی احتمال خطای نوع اول در مسئله ازمون فرض است، روشهایی برای کنتری آن مورد نیاز است. آلگوریتم بنجامینی- هوچبرگ این نیاز را برآورده کرده است که براساس احتمالات بامعنایی یا همان p-values در باره پذیرش یا رد فرضها تصمیم میگیرد. این آلگوریتم مبتنی بر فرض مستقل بودن احتمالات با معنایی میباشد. روشهای دیگری برای کنترل نرخ کشف نادرست در حالتی که احتمالات بامعنایی مستقل نیستند نیز مورد بررسی قرار میگیرند.

کارایی نسبی مجانبی آزمون ها معیاری از بهینه بودن آزمون ها است که نسبت مجانبی حجم های نمونه ی دو دنباله از آزمون ها، که دارای سطح معنی داری یکسان و مقدار توان از پیش تعیین شده هستند، را اندازه می گیرد. در این پایان نامه کارایی نسبی مجانبی بهادر، هاجز- لهمن، پیتمن و چرنوف در حالت های پارامتری و ناپارامتری ( آزمون نیکویی برازش و غیره ) بررسی شده است. ابزار اساسی در مطالعه کارایی نسبی مجانبی، تکنیک انحرافات بزرگ است.

یک فرایند پواسون ناهمگن را در یک بازه مشاهده میکنیم و بر اساس آن در مورد شدت تابع شدت این فرایند یک فرض ساده را در مقابل یک فرض ناپارامتری مورد بررسی قرار میدهیم. ابتدا آزمون فرض ناپارامتری را برای شدت فرایند بر اساس دو آزمون رایج کلموگروف‐اسمیرونوف وکرامر‐فون میزس بررسی میکنیم که ازمونهای سازگار مینیماکس مجانبی بدست می آیند. برای آزمون در باره تابع شدت فرایند اگر بخواهیم آزمونهای سازگار مجانبی بدست آوریم لازم است که محدودیتی بر روی فرضهای مقابل قرار دهیم. این محدودیتها بر اساس گویهای سوبولوف و بیسوف مشخص میشوند.

در این پایان نامه به بررسی احتمال انحرافهای بزرگ برای یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل و همتوزیع میپردازیم. کاربرد انحرافهای بزرگ در مسئله آزمون فرضهای آماری را مورد بررسی قرار میدهیم. در یک بخش دیگر پایان نامه به مطالعه نتایج مشابه احتمال انحرافهای بزرگ برای انتگرالهای تصادفی نسبت به فرایند پواسون میپردازیم.

در آزمون فرضهای همزمان با تعداد زیادی فرض مجزا به طور همزمان سروکار داریم. در این پایان نامه معیار نرخ خطای جمعی را بررسی میکنیم وبه بررسی الگوریتمهایی که این معیارها را کنترل میکنند میپردازیم که شامل رویه ی بونفرونی، سیداک، هولم و هوچبرگ میباشند.

استنباط آماری در مدلهای رگرسیونی که در آن تعداد پارامترها خیلی بزرگتر از تعداد مشاهدات است بدون اعمال فرضیات اضافی روی بردار رگرسیونی غیر ممکن است. لذا با فرض تنک بودن بردار رگرسیون، یعنی با فرض اینکه تعداد مولفه های غیر صفر کم است به برآورد پارامترهای مدل میپردازیم. برآوردهای سخت آستانه ای و نرم آستانه ای را معرفی میکنیم. همچنین ضمن معرفی برآوردهای لاسو، گزینشگر دانتزیگ و مجموع وزن دار نمائی کرانهایی برای مخاطره این برآوردگرها بدست می آوریم.

تابع چگالی احتمال مفهومی اساسی در آمار و احتمال است. به وسیله تابع چگالی احتمال می توان به رفتار تصادفی متغیرهای تصادفی پی برد. تکنیک برآورد چگالی هسته ای کلاسیک یکی از روشهای مرسوم در برآورد تابع چگالی است که در غیاب داده های پرت صورت می گیرد. اگر مشاهدات عاری از داده پرت باشند، استفاده از روش برآورد چگالی ه روش هسته ای بسیار کارا است؛ اما معمولاً در میان مشاهدات داده پرت وجود دارد. استفاده از روش برآورد هسته ای چگالی در حضور چنین مشاهداتی در میان داده ها باعث بیش برآوردی یا کم برآوردی در قسمتهایی از تابع چگالی خواهد شد؛ به عبارت دیگر مشاهدات پرت میزان اریبی برآورد چگالی را افزایش می دهند. بنابراین روش یا روشهایی برای برآورد چگالی وقتی که در مشاهدات داده پرت وجود دارد، مورد نیاز است. در این پایان نامه روشهای برآورد استوار چگالی مرور می شود. سپس روش جستجوی پیشرو معرفی و روش جدیدی بر اساس این رهیافت ارائه و پیشنهاد می شود.

هدف این پایان نامه بررسی کارایی مرتبه دوم آزمون امتیاز رائو برای فرایندهای پواسن ناهمگن در حالت پارامتری می باشد.

هدف بررسی مطالعه کسری توان آزمون امتیاز رائو برای فرایندهای پواسون ناهمگن میباشد. لازمه این کار بررسی خواص درجه دوم انتگرالهای استوکاستیک نسبت به فرایند پواسن میباشد.

قدرت تفکیک یک میکروسکوپ به عنوان کمترین فاصله بین دو نقطه روی نمونه که می توانند از هم، تفکیک شوند، تعریف می شود. قدرت تفکیک میکروسکوپ نوری در دو بعد به وسیله ی معیار رایلی محدود می باشد. کاملاً واضح است که معیار رایلی آمار گسیل فوتون داده های به دست آمده را نادیده می-گیرد. اخیراً رام و همکارانش از یک چهارچوب تصادفی برای تعیین قدرت تفکیک استفاده کرده اند که محدودیت های معیار رایلی را ندارد. آنها نشان دادند که قدرت تفکیک میکروسکوپ نوری معمولی محدود نمی باشد بلکه، تحت تاثیر شمار فوتون های آشکار شده، پیکسل بندی آشکارساز، بزرگنمایی سیستم نوری، نویزهای قابل خواندن آشکارساز، فوتون های پراکنده و چرخش دو ذره قرار می گیرد. میکروسکوپ فلورسنسی بازتابش داخلی کلی یک سیستم تصویربرداری میدان گسترده است که برای تصویربرداری از غشاء سلول و حوادث سلولی در مرز شیشه و مایع به کار می رود. در این میکروسکوپ میدان میرای پرتو بازتابش داخلی کلی به عنوان منبع نور برای تحریک فلورفورهای نزدیک به محیط و فاصله ی حدود صد نانومتر از پوشش شیشه ای به کار می رود.چون میدان میرا به عنوان منبع روشنایی استفاده می شود، قدرت تفکیک محوری این میکروسکوپ خیلی کوچکتر از قدرت تفکیک میکروسکوپ های نوری معمولی است. از آنجایی که قدرت تفکیک برای این میکروسکوپ تا به حال نه به صورت تجربی و نه به صورت تئوری تعیین نشده است، ما در این تحقیق قدرت تفکیک را برای این میکروسکوپ و میکروسکوپ نوری معمولی به روش رام در یک چهارچوب تصادفی بررسی کردیم. دو ذره را در یک میدان میرای پرتو بازتابش داخلی کلی در نظر گرفتیم. با استفاده از ماتریس فیشر مقدار خطا را در تعیین فاصله ی دو ذره به دست آوردیم. برای میکروسکوپ TIRF مقدار خطا کمتر از میکروسکوپ نوری معمولی است. همچنین فهمیدیم که پارامترهای آزمایشگاهی نظیر: اندازه و تعداد پیکسل های آشکارساز، نویزهای آشکارشده، بزرگنمایی سیستم نوری و چرخش دو ذره می تواند روی خطای تعیین فاصله ی دو ذره تاثیر گذار باشند.