مراد احمدنسب

در این پایان نامه، یک روش عددی برای حل معادله یک بعدی برگرز با استفاده از توابع پایه شعاعی مولتی-کوادریک برای تقریب بعد مکان و یک طرح تفاضل متناهی فشرده مرتبه دوم برای تقریب بعد زمانی ارائه می شود. سرانجام نتایج عددی به ازای توزیع گره های غیریکنواخت و همچنین تحلیل خطا و همگرایی روش انجام می شود. در ضمن نتایج عددی حاصل با روش های دیگر مورد مقایسه قرار می گیرد.

مسئله برآورد اثرتوابع ماتریسی در برنامه های کاربردی اعم از یادگیری ماشین، محاسبات علمی تا زیست شناسی محاسباتی ظاهر می شود. در این پایان نامه یک روش ارزان برای برآورد اثر $ f (A) $ برای مواردی که $ f $ در یک بازه بسته تحلیلی و $ A $ یک ماتریس معین مثبت متقارن است، مطالعه و بررسی می گردد. این روش از \textbf{سه بخش اصلی} یعنی، \textbf{برآورد کننده اثر تصادفی }، \textbf{کوادراتور گاوسی }و الگوریتم \textbf{لانچوز} تشکیل شده است. مسائلی که بررسی می شوند عبارتند از، برآورد $ log-determinant (f (t) =\log (t)) $ ، $ -p $ نرم های شاتن $ (f (t) = t^{p/2}) $ ، شاخص استرادا $ (f (t) = e^t) $ و اثر معکوس ماتریس $ (f(t)=t^{-1}) $ . کران های خطای ضربی و جمعی برای تقریب بدست آمده توسط روش مد نظر بدست می آیند. افزون بر این، کران های خطا برای سایر ابزارهای مفید مانند تقریب تابع $ log-likelihood $ در زمینه برآورد حداکثر احتمال فرآیندهای گاوسی مورد بررسی قرار می گیرند. آزمایش های عددی کارایی روش مطالعه شده را برای حل مسائل گوناگون ناشی از کاربردهای مختلف نشان می دهند.

الگوریتم $QR$ همچنان یکی از مهم ترین روش ها برای محاسبه مقادیر ویژه و بردار های ویژه ماتریس ها است. بیشتر بحث های الگوریتم $QR$ با یک نسخه بسیار ابتدایی شروع می شود و با گام هایی به سمت نسخه هایی از این الگوریتم که واقعاً استفاده می شوند حرکت می کند. در این پایان نامه یک مسیر آموزش محور ارزشمند را پیگیری می کنیم که مستقیماً به الگوریتم های $QR$ چند انتقال ضمنی که در عمل استفاده می شوند، منتهی می شود و الگوریتم $QR$ پایه را بطور کامل دور زده و نادیده می گیرد.

روش اجزاء محدود تصادفی طیفی ابزاری توانمند در تحلیل سیستم‌های سازه‌ای با در نظر گرفتن اثرات عدم قطعیت است. کاربردهای این روش در تحلیل اعضای بتنی مسلّح کمتر مورد توجّه قرارگرفته است. در این رساله با استفاده از روش اجزاء محدود تصادفی طیفی گالرکین به بررسی رفتار تیرهای بتنی مسلّح با خصوصیات تصادفی مصالحی و تحت بارگذاری قطعی پرداخته می‌شود. رفتار مسئله به صورت الاستیک غیرخطی در نظر گرفته می‌شود؛ یک روند مرحله به مرحله برای بارگذاری مورد استفاده قرار گرفته و هر مرحله از بارگذاری شامل تعدادی گام است. از بسط چندجمله‌ای آشوب تعمیم‌یافته برای توصیف پارامترهای ورودی تصادفی و بردار پاسخ استفاده شده است. با اعمال تصویرسازی گالرکین تصادفی بر روی معادلات تعادل، عبارت‌های بسط چندجمله‌ای آشوب بردار جابجایی تعیین می‌شوند. ضرایب بسط چندجمله‌ای آشوب بردارهای کرنش، تنش و نیروهای داخلی نیز با استفاده از بردار جابجایی محاسبه می‌شوند. ماتریس سختی مماسی تصادفی سیستم در ابتدای هر مرحله از بارگذاری به روزرسانی می‌شود. کاربرد روش پیشنهادی بر روی تیرهای بتن مسلّح تحت بار متمرکز قطعی و با مدول الاستیسیته بتن به عنوان پارامتر تصادفی نشان داده شده است. نتایج حاصل از روش پیشنهادی با نتایج روش‌های‌ مونت‌کارلو و Non-Intrusive تصادفی مقایسه شده و مطابقت خوبی حاصل شد. حل دستگاه معادلات بدست آمده از روش اجزاء محدود تصادفی طیفی گالرکین با توجّه به ابعاد مسئله و تعداد مراحل بارگذاری وگام‌ها، هزینه بردار است. با توجّه به متقارن و معین‌مثبت بودن ماتریس سختی سیستم، برای حل دستگاه‌های معادلات خطی بدست آمده از روش گرادیان مزدوج پیش‌بهبود داده شده با پیش‌بهبود‌دهنده‌های‌ مبتنی بر میانگین و از نوع سلسله مراتبی گاوس‌سیدل استفاده شد. پیش‌بهبود‌دهنده‌های‌ مبتنی بر میانگین در عین سادگی توانمند بوده و پیش‌بهبوددهنده سلسه مراتبی گاوس - سیدل با توجّه با اینکه بر مبنای ساختار ماتریس سختی تصادفی سیستم طراحی شده موثّر و کارا است. اثر بخشی هر یک از این پیش بهبوددهنده‌ها نیز با نتایج عددی نشان داده شده است.

در این پایان نامه، به مطالعه ترکیب هایی از تفکیک های منظم برای ماتریس ضرایب I - \alpha P با چهارچوب تکراری درونی- بیرونی می پردازیم که نتیجه آنها یک روش تکراری داخلی-خارجی GIO برای حل مساله رتبه بندی صفحه وب است. برای این منظور، ابتدا روش های AOR و اصلاح شده آن MAOR برای حل مساله رتبه بندی صفحه تشکیل می دهیم و مقایسه هایی بین حالات مختلف آنها انجام می دهیم. پس از آن طرح تکراری GIO معرفی می شود و خواص همگرایی آن را با جزئیات مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم.

در این پایان‌‌نامه، دو روش عددی برای تقریب معادله یک بعدی برگرز ارائه می‌شود، ابتدا بعد مکان را با استفاده از تابع پایه شعاعی مولتی-کوادریک تقریب زده، و برای تقریب بعد زمان از دو روش تفاضلات متناهی فشرده مرتبه دوم و روش رانگه -کوتای مرتبه چهار استفاده می‌کنیم. نتایج حاصل از این روش را با روش‌های دیگر مقایسه کرده و نمودار جواب دقیق و نمودار خطا را به ازای این دو روش آورده‌ایم

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه روش های حل معادلات ماتریسی چند جمله ای با تکیه بر روش نیوتن می باشد. برای این منظور، در آغاز به معرفی چند جمله ای های ماتریسی در حالت کلی می پردازیم و در ادامه رابطه بین جواب دستگاه معادلات ماتریسی چند جمله ای و مسائل مقدار ویژه ی چند جمله ای های ماتریسی را بیان و اثبات می نماییم. پس از آن روش نیوتن با جستجوی خطی دقیق برای حل معادلات ماتریسی درجه دوم را مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه عدد حالت مسئله معادلات ماتریسی درجه دوم و رابطه ی آن با روند محاسبه ی خطای پسرو یک جواب تقریبی بررسی می شود. جستجو های خطی نسبتا کم هزینه هستند و از لحاظ نظری و عملی خاصیت همگرایی سراسری روشنیوتن را بهبود می بخشند. در پایان آزمایشهای عددی برای پشتیبانی نتایج نظری ارائه می شوند.

در این پایان نامه مسائل مقدارویژه ی مربعی با ماتریس تعدیل کننده ی کم رتبه مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد. راهکار اصلی که در این جا مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد روشی مبتنی بر حذف اولیه ی ماتریس کم رتبه ی تعدیل کننده از مساله ی اصلی، حل مساله ی مقدارویژه ی تعمیم یافته حاصل، تهی سازی مقادیر ویژه ی صفر و نامتناهی آن و در نهایت بهره گیری از آن جواب ها به روش اهرلیش-آبرت برای تقریب هم زمان ریشه های معادله ی 0 = (det P(x می باشد. اگر بردارهای ویژه مساله ی نظیر مقادیر ویژه ی (P(x نیز مد نظر باشند از یک فرآیند تکرار معکوس برای محاسبه ی آنها استفاده خواهد شد. بررسی ها موید کم تر بودن پیچیدگی محاسباتی الگوریتم مد نظر نسبت به آخرین روش های موجود می باشد.

در این پایان نامه مسائل مقدار ویژه مربعی با ماتریس تعدیل کننده قوی مورد مطالعه قرار می گیرد. برای این کار ضمن مرور مفاهیم و قضایای اساسی مورد نیاز روش های مبتنی بر چهار گام مقیاس بندی، خطی سازی، حل مسئله خطی سازی شده و بازیابی زوج ویژه های راست و چپ را مطالعه و باهم مقایسه می کنیم. تمرکز اصلی بر روی روش مقیاس بندی شبه-تروپیکال و ترکیب آن با انتخاب نوع خطی سازی متناسب است طوری که عامل رشد عدد حالت در خطی سازی و همچنین عامل رشد در خطای پسرو زوج ویژه های راست و چپ بازیابی شده هر دو از مرتبه یک بمانند. آزمایش های عددی عملکرد قابل مقایسه و گاها بهتر روش نسبت به الگوریتم های مشابه برای حل مسائل مدنظر را تایید می کنند.

در این پایان نامه به بررسی قانون مرتبه معکوس سه تایی، برای معکوس درازین تعمیم می پردازیم و در ادامه برای این جملات معکوس درازین تعمیم یافته ماتریس های بلوکی در جبر باناخ را نیز بدست می آوریم. همچنین چندین نمایش برای معکوس درازین تعمیم یافته ماتریس بلوکی غیر مثلثی در جبر های باناخ را برای فرم تعمیم یافته باناخ‐شور ارائه می دهیم.

بسیاری از مسائل در علم و فناوری می توانند به شکل معادلات دیفرانسیل با مشتق های مکان و زمان کسری نوشته شوند. برای شبیه سازی دقیق پدیده های طبیعی با این فناوری گسسته سازی ظریف مکان و زمان نیاز است. این کار به دستگاه های خطی یا معادلات ماتریسی بزرگ منجر می شود، به ویژه هنگامی که بیش از یک بعد مکانی در نظر گرفته شود. گسسته سازی معادلات دیفرانسیل کسری در حالت ضرایب ثابت اغلب شامل ماتریس های چگال با یک ساختار توپلیتس است. در این پایان نامه، حل کارای این مسائل از نظر زمان اجرا و حافظه مورد نیاز مدنظر می باشد. به همین منظور، محاسبات سریع ماتریس های توپلیتس و پیش بهبود دهنده های دوری شان با جدیدترین روش های حل معادلات خطی ماتریسی ترکیب می شود. بعلاوه، تطبیق این روش ها برای حالت ضرایب متغیر نیز بحث خواهد شد. مثال های عددی ارائه شده کارآمدی روش های معرفی شده را نشان می دهند.

در این پایان نامه به معرفی پایه های قطعه ای پیوسته می پردازیم. از جمله این پایه ها، می توان به بلاک-پالس، هار، والش و پایه های ترکیبی اشاره کرد. سپس ویژگی ها و ماتریس های عملیاتی انتگرال آنها را تعیین می کنیم. در ادامه با استفاده از توابع پایه قطعه ای پیوسته، مسائل حساب تغییرات را تقریب می زنیم. همچنین با ارائه چند مثال، نتایج عددی حاصل از هر کدام از این پایه ها را از نظر دقت و حجم عملیات مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی کان-هیلیارد تصادفی با نوفه ی جمعی، معروف به معادله ی کان-هیلیارد-کوک، با روش عنصر متناهی برای نیم گسسته سازی مکانی، در قالب نظریه نیم گروهها مورد مطالعه قرار گرفته است. ابتدا تخمین همواری قوی برای معادله ی کان-هیلیارد-کوک خطی نیم گسسته با اعمال شرایطی روی عملگر کواریانس نوفه، با استفاده از تخمین خطای پیشین معادله ی غیر تصادفی (کان-هیلیارد خطی)، نشان داده می شود، که جهت بدست آوردن کران خطا برای پیچش تصادفی استفاده می گردد. سپس وجود قریب به یقین و همواری جواب معادله ی کان-هیلیارد-کوک غیر خطی روی مجموعه هایی با احتمال دلخواه نزدیک به یک ثابت می گردد. هدف اصلی این پایان نامه، اثبات تخمین خطا و همگرایی قوی روش عنصر متناهی برای حل تقریبی معادله ی کان-هیلیارد-کوک با اعمال شرایطی روی عملگر کواریانس، می باشد.

در این پایان نامه، روش جواب اساسی، که یک روش بدون شبکه ی مرزی است، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی معرفی می شود. ابتدا این روش برای حل معادلات مستقل زمانی همگن به کار می رود. سپس برای حل معادلات مستقل زمانی نا همگن، جواب به دو قسمت همگن و جواب خصوصی تقسیم می شود. جواب قسمت همگن با روش جواب های اساسی و جواب خصوصی با استفاده از توابع پایه ای شعاعی تقریب زده می شود. در نهایت، روش جواب های اساسی برای حل معادلات همگن و ناهمگن وابسته ی زمانی مورد بررسی قرار می گیرد و با استفاده از توابع پایه ای شعاعی جواب خصوصی تقریب زده می شود.

در این پایان نامه، یک روش آرنولدی شتاب داده شده ی تطبیقی بر اساس ضرب داخلی وزن دار برای محاسبه ی رتبه ی صفحه ای مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته و خواص آن مطالعه شده است. وزن های عددی بر اساس و منطبق با بردار مانده موجود متناظر با بردار رتبه ی صفحه ای تقریبی به گونه ای تغییر داده شده تا موجب سرعت بخشی و بهبود کارایی همگرایی گردد. نتایج عددی نشان می دهند که روش آرنولدی شتاب داده شده تطبیقی سریعتر از روش نوع-آرنولدی همگرا می شود، به ویژه وقتی عامل تعدیل به یک نزدیک است. با توجه به برتری همگرایی روش های نوع-آرنولدی به روش های قبلی همچون روش توانی و روش برونیابی مربعی، می توان اعلام کرد که روش جدید سریعتر از روش های موجود برای حل مساله رتبه ی صفحه ای همگرا می گردد.

در این پایان نامه، معادله ی انتگرو - دیفرانسیل هذلولوی همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه در نظر گرفته شده است. ابتدا خوش وضعی مساله به معنی اثبات وجود و یکتایی جواب مساله با استفاده از روش تقریب گالرکین مطالعه شده است. سپس، یک روش عنصر متناهی مکان - زمان پیوسته از مرتبه ی یک برای مساله فرموله شده است. پایداری مساله ی دوگان گسسته اثبات شده است که برای محاسبه ی مرتبه بهینه تخمین خطای پیشین به وسیله ی مساله ی دوگان استفاده شده است. در پایان صحت تئوری با یک مثال عددی آزمایش میگردد.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی گرمای خطی تصادفی با نوفه جمعی مورد مطالعه قرار گرفته است. در این راستا از روش عنصر متناهی و اویلر پسرو به ترتیب برای نیم گسسته سازی مکان و زمان استفاده شده است. ابتدا تخمین خطا برای مساله ی تصادفی نیم گسسته به دست آمده است که در نهایت در اثبات تخمین های همگرایی قوی برای مساله ی تصادفی استفاده شده اند.

در این پایان نامه دستگاه های خطی نامعین بلوکی 2 در 2 را بررسی می کنیم که در آنها بلوک (2و2) ماتریس بلوکی ضرایب صفر است. چنین دستگاه هایی در بسیاری از برنامه های کاربردی رخ می دهد. دو روش را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم که اساس کار آنها اصلاح و یا تغییر بلوک (1و1) به گونه ای است که دستگاه حاصل ساده تر حل گردد. بخش اصلی کار بر روی لاگرانژ افزوده متمرکز است، روشی که بلوک (1و1) را بدون تغییر اندازه دستگاه اصلاح می کند. موضوع های انتخاب پارامتر مناسب، طیف ماتریس ضرایب دستگاه خطی و عدد شرطی مورد بحث قرار خواهند گرفت، و برخی مشاهدات تحلیلی نیز ارایه می گردند. یک روش تهی سازی بلوک (1و1) نیز معرفی می گردد. نتایج آزمایش های عددی، جهت اعتبار بخشی بیشتر به تحلیل های صورت گرفته ارایه خواهند شد.

در این پایان نامه تعدادی پیش بهبود دهنده مثلثی جدید برای مسائل نقطه زینی بر اساس تجزیه متقارن و مثلثی ST را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. علاوه بر این، تخمین هایی برای اعداد شرطی دستگاه های پیش بهبود شده به دست خواهد آمد و پارامترهای شبه بهینه را ارائه می کنیم. آزمایش های عددی ویژگی های پیش بهبود دهنده ها را نمایان و تاثیر آن ها بر همگرایی روش گرادیان مزدوج در حل دستگاه های پیش بهبود شده را تایید می کنند.

اصلاح رتبه یک غیر خطی از مسئله ی مقدار ویژه متقارن نتیجه ی ارتعاشات ویژه ساختارهای مکانیکی با بارهای پیوسته کشسان و همچنین محاسبه مدهای انتشار در فیبر نوری می باشد. در این پایان نامه ابتدا وجود و یکتایی مقادیر ویژه اینگونه مسائل را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس سه الگوریتم عددی با اسامی تکرار پیکارد، تکرار نسبت رایلی غیر خطی و روش تقریب خطی متوالی (SLAM) برای محاسبه زوج ویژه ها مورد بررسی قرار خواهند گرفت. در ادامه، همگرایی عمومی روش تقریب خطی متوالی SLAM تحت برخی مفروضات اثبات خواهد شد. نتایج عددی نشان می دهند که در میان روش های بررسی شده، روش SLAM توانمندترین روش است.

در این پایان نامه به مطالعه روش فوق تخفیف شتابدار اصلاح شده ی متقارن (SMAOR) برای حل دستگاه معادلات خطی تنک می پردازیم. سپس ناحیه همگرایی این روش را مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج عددی حاصل از به کار گیری روش SMAOR به همراه روش هایی هم چون فوق تخفیف شتابدار (AOR) و فوق تخفیف شتابدار اصلاح شده (MAOR) موید کوچکتر بودن شعاع طیفی ماتریس تکرار روش SMAOR نسبت به شعاع های طیفی دو روش دیگر می باشند که توضیحی برای همگرایی سریع تر روش SMAOR می باشد.

در این پایان نامه، خانواده ای از تجزیه متقارن مثلثی (ST) مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. به کمک این تجزیه هر ماتریس نامنفرد می تواند به صورت حاصل ضرب یک ماتریس متقارن S و یک ماتریس مثلثی T بیان شود. بعلاوه S می تواند معین مثبت باشد. برای محاسبه تجزیه ST دو الگوریتم عددی بیان خواهد شد که در آنها S معین مثبت است. سپس به عنوان کاربردی از تجزیه ST ، سه پیش بهبود دهنده بلوکی برای مسائل نقطه زینی مورد بررسی قرار خواهند گرفت و عدد شرطی برای سه دستگاه متقارن و معین مثبت تخمین زده خواهد شد. نهایتا پس از اعمال هر یک از سه پیش بهبود دهنده مذکور بر مسئله نقطه زینی که دستگاه معادلات خطی نظیر آن نامتقارن است، روش عددی گرادیان مزدوج را برای دستگاه های متقارن و معین مثبت حاصل بکار می گیریم و با آزمایش های عددی تاثیر هر یک از پیش بهبود دهنده ها را بررسی خواهیم نمود.

در این پایان نامه‎،‎ ابتدا نیمه گسسته سازی مکانی معادله گرما را‎،‎ به عنوان یک مثال از مساله سهموی‎،‎ با استفاده از روش عنصر متناهی و سپس گسسته سازی کامل مساله را با روش اویلر پسرو انجام می دهیم‎.‎ در ادامه پس از معرفی بازسازی بیضوی برای تحلیل خطای پسین معادلات نیمه گسسته و کاملا گسسته و بیان تخمین پایداری برای مساله ی پیوسته دوگان‎،‎ تخمین های خطای پسین را با استفاده از روش های انرژی و دوگان و ترکیب آن ها با بازسازی بیضوی بدست می آوریم‎.‎

روش باقیمانده مینیمال ( MINRES ) برای کلاس خاصی از سیستم های خطی با ماتریس ضرایب نرمال که طیف آنها متعلق به منحنی جبری از درجه ی پایین k می باشد ساخته شده است. تفاوت این روش با روش شناخته شده ی GMRES در زیر فضاهایی است که جواب تقریبی به آن تعلق دارد. در این مقاله حالت 2,3=k را بررسی می کنیم. نتایج عددی ارائه شده برتری روش MINRES را نسبت به روش GMRES نشان میدهد.

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه تاثیر روش های پیش بهبود از نوع SIMPLE بر حل دستگاه های معادلات خطی است که در فاز دوم فرآیند حل عددی معادلات دیفرانسیل تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، یعنی فاز خطی سازی، ایجاد می گردند. در این پایان نامه ضمن معرفی معادلات دیفرانسیل تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، به دو فاز موجود در روش های عددی حل این گونه معادلات یعنی فازهای گسسته سازی و خطی سازی اشاره خواهد شد. سپس روش تکراری نیوتن مورد بحث قرار خواهد گرفت تا به عنوان روش انتخابی در جهت حل دستگاه معادلات غیرخطی، حاصل از فاز گسسته سازی، عهده دار فاز خطی سازی گردد. در هر تکرار روش نیوتن لازم است تا یک دستگاه معادلات خطی حل گردد. ماتریس ضرایب اینگونه دستگاه های خطی عمدتا بد وضع هستند لذا بهره گیری از ایده های پیش بهبودسازی امری اجتناب ناپذیر و ضروری است و از این رو قسمت اصلی پایان نامه به معرفی روش های تکراری حل دستگاه های معادلات خطی و روش های پیش بهبودساز از نوع SIMPLE و SIMPLER و ترکیب آنها با روش GCR اختصاص داده شده است. کدهای MATLAB مربوط به آزمایش های عددی در داخل توابعی از یک نرم افزار تخصصی حل معادلات تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، یعنی ،IFISS پیاده سازی و اجرا گردیده اند که همگی افزایش کارایی حاصل از بکارگیری ایده های پیش بهبودسازی بر روی روش GCR با اسامی GCR-SIMPLE و GCR-SIMPLER را تایید می کنند.

روش عناصر مرزی، به عنوان یک تکنیک عددی قوی برای حل بسیاری از معادلات دیفرانسیل جزئی به کار می رود. اما وجود جملات ناهمگن در بسیاری از معادلات، سبب به وجود آمدن انتگرال های دامنه ای در فرمول روش عناصر مرزی می شود که کارایی تکنیک را تا حد زیادی کاهش می دهد. برای مقابله با این مشکل، تکنیک های بسیاری پیشنهاد شده است. در این پایان نامه، به منظور حل مساله ی ناپایدار انتقال حرارت، از روش عناصر مرزی استفاده می شود که وجود جمله ی ناهمگن وابسته به زمان، باعث می شود یک انتگرال دامنه ای در معادله ظاهر شود. برای تبدیل این معادله به یک معادله ی انتگرال مرزی، از دو روش استفاده شده است. در روش اول، ابتدا تابع مجهول وابسته به زمان توسط دنباله ای از توابع پایه ی شعاعی، درونیابی می گردد و برای به دست آوردن معادله ی انتگرال مرزی، از جواب اساسی معادله ی لاپلاس که یک تابع مستقل از زمان است، استفاده می شود. سپس جواب معادله ی انتگرال حاصل، با گسسته سازی مرز ناحیه و صرفاً با انجام انتگرال گیری مکانی به دست می آید. در روش دوم، از جواب اساسی وابسته ی زمانی که کل معادله ی انتقال حرارت، از جمله بخش وابسته به زمان را تحت پوشش قرار می دهد، استفاده می شود. بنابراین معادله ی انتگرال نتیجه شده، شامل انتگرال های مختلط مکانی و زمانی است که برای حل آن از گسسته سازی مرز و متغیر زمانی استفاده می گردد.

هدف اصلی این پایان نامه پالایش تکراری جواب های تقریبی مسائل مقدار ویژه ی متقارن می باشد. چون پس از تقریب جواب های مسائل جبر خطی عددی خصوصا مسائل مقدار ویژه گاها بسته به وضع مسئله مورد بررسی و حتی با وجود توان و پایداری روش حل باز هم ممکن است برخی از جواب ها دقت کافی را نداشته باشند، لذا بهره گیری از ایده پالایش تکراری جواب های تقریبی بسیار ضروری است. ما پالایش مقادیر ویژه ی استاندارد و تعمیم یافته را مورد مطالعه قرار می دهیم. معیارهای تعیین کفایت دقت جواب ها خطاهای پسرو و پیشروی زوج مقادیر ویژه می باشند. ابتدا خطاهای پسرو و پیشروی زوج ویژه های تقریبی تولید شده توسط هر یک از روش های چولسکی - QR و چولسکی - ژاکوبی را بررسی نموده و سپس خطاهای مذکور هر یک از زوج ویژه هایی که کاندیدای پالایش باشند را به کمک حل یک دستگاه معادلات غیر خطی مرتبط با بهره گیری از روش نیوتن بهبود می دهیم. به منظور بالا بردن کارایی کدهای مربوط به روش ها، بحث استفاده از محاسبات در دقت توسعه یافته و مخلوط نیز مطرح شده است.

در این پایان نامه، دسته ای از روش های عددی برای حل مسائل حساب تغییرات بر پایه روش های شبه طیفی کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شود. مزیت روش غیرکلاسیک آن است که تابع های وزن اختیاری برای تولید چندجمله ایهای متعامد استفاده می شوند و دامنه ای بزرگتری برای نقاط هم مکانی و ماتریس های مشتق را ممکن می سازند. به وسیله مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ی یک ماتریس سه قطری متناظر چندجمله ا یهای متعامد، گره ها (نقاط هم مکانی) و وزن های انتگرال گیری عددی گاوس ارائه می شوند. روش های شبه طیفی نیز به صورت دو دسته کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شوند. همچنین در ادامه نتایج عددی برای حل چند مسئله حساب تغییرات آورده شده و به طور ضمنی مورد مقایسه قرار گرفته اند.

مساله توپلتس نرمال عبارت است از شناسایی و دسته بندی ماتریس هایی که همزمان توپلتس و نرمال باشند. اما مساله هنکل نرمال که مشکل تر از مساله ی توپلتس نرمال است، عبارت است از شناسایی و دسته بندی ماتریس هایی که همزمان هنکل و نرمال باشند. در این پایان نامه، ما هر دو مساله را بطور کامل حل کرده و ماتریس هایی از این دو نوع را دسته بندی خواهیم نمود.

در این پایان نامه نقش حساب دقت متناهی و غیر نرمالی ماتریس های ضرائب و ماتریس های تکرار در واگرا شدن و یا رسیدن به جواب غلط در حین بکارگیری روش های تکراری پایه ای تحت فرمول $x^{(0)}, x^{(k+1)}=Tx^{(k)}+c$ که برای حل دستگاه $Ax=b$ بکار گرفته می شوند بررسی خواهد شد. به علاوه تاثیر پیش شرطی سازی بر روی ماتریس های اولیه به منظور کاهش عددشرطی ماتریس ضرایب و همچنین کاهش شعاع طیفی ماتریس تکرار در بهبود و توانمندسازی روش های تکراری پایه ای بررسی خواهد شد

یکی از روش های موثر برای حل معادلات پواسون روش جوابهای اساسی است. این روش یک روش بدون شبکه است که در آن هیچ تقسیم بندی روی مرز و دامنه صورت نمی گیرد. در این روش یک مرز مجازی اطراف مرز فیزیکی در نظر گرفته می شود و نقاط چشمه روی این مرز انتخاب می شوند. به این صورت از انطباق نقاط چشمه و نقاط میدانی و به دنبال آن از منفرد بودن جواب اساسی جلوگیری می شود. برای حل معادلات پواسون با استفاده از روش جوابهای اساسی، ابتدا تقریبی از جواب خصوصی مسئله به دست آورده می شود، سپس جواب قسمت همگن با استفاده از روش جوابهای اساسی برای معادلات همگن ، تعیین می گردد. برای تقریب جواب خصوصی در این روش از توابع شعاعی پایه استفاده می شود که این توابع با افزایش تعداد نقاط درونیابی، منجر به تولید ماتریس درونیاب بد وضع می گردند. برای اجتناب از بد وضعی، در این پایان نامه روش تجزیه دامنه هم پوش پیشنهاد شده است. این روش با تقسیم بندی دامنه به چند زیر دامنه باعث کاهش مرتبه ماتریس درونیاب شده و در نتیجه عدد شرطی آنرا کاهش می دهد. ابتدا روش جواب اساسی برای حل معادله در هر زیر دامنه بکار گرفته می شود و سپس با جمع آوری نتایج در زیر دامنه ها جواب معادله در کل دامنه به دست می آید.