محمد زرین

چکیده برای گروه متناهی G، رابطه ی هم ارزی را روی G به صورت زیر تعریف می کنیم: x,y∈G xy ⇔ |xG|=|yG| که xG رده ی مزدوجی x در G است. مجموعه ی شامل اندازه ی رده های هم ارزی نسبت به این رابطه را "مجموعه ی اندازه ی یکسان مزدوجی" از G گوییم و با نماد U(G) نمایش می دهیم. در این رساله، تاثیر U(G) را بر ساختار گروه G بررسی می کنیم و حدس می زنیم که همه ی گروه های ساده ی نا آبلی G توسط U(G) مشخصه سازی می شوند و این حدس را برای گروه های خطی خاص تصویری PSL3(3) و PSL2(q) که q∈{5,7,8,9,17} است، اثبات می کنیم. بعلاوه اگر G یک گروه و m≥2 و n≥1 باشد. G را یک T(m,n)-گروه گوییم هرگاه به ازای هر m تا زیرمجموعه ی n عضوی X1و X2و ... و Xm از G، اعداد صحیح مثبت و متمایز i و j و عناصر xiXi و xjXj موجود باشند به طوری که xixj=xjxi. در این پژوهش مثال هایی را از T(m,n)-گروه های نا آبلی متناهی و نامتناهی می آوریم و به بحث در مورد متناهی و آبلی بودن چنین گروه هایی می پردازیم، سپس نشان می دهیم که طول حل پذیری T(m,n)-گروه ها ی حل پذیر، دارای کران بالایی بر حسب m, n است.

چکیده برای گروه متناهی G، رابطه ی هم ارزی را روی G به صورت زیر تعریف می کنیم: x,y∈G xy ⇔ |xG|=|yG| که xG رده ی مزدوجی x در G است. مجموعه ی شامل اندازه ی رده های هم ارزی نسبت به این رابطه را "مجموعه ی اندازه ی یکسان مزدوجی" از G گوییم و با نماد U(G) نمایش می دهیم. در این رساله، تاثیر U(G) را بر ساختار گروه G بررسی می کنیم و حدس می زنیم که همه ی گروه های ساده ی نا آبلی G توسط U(G) مشخصه سازی می شوند و این حدس را برای گروه های خطی خاص تصویری PSL3(3) و PSL2(q) که q∈{5,7,8,9,17} است، اثبات می کنیم. بعلاوه اگر G یک گروه و m≥2 و n≥1 باشد. G را یک T(m,n)-گروه گوییم هرگاه به ازای هر m تا زیرمجموعه ی n عضوی X1و X2و ... و Xm از G، اعداد صحیح مثبت و متمایز i و j و عناصر xiXi و xjXj موجود باشند به طوری که xixj=xjxi. در این پژوهش مثال هایی را از T(m,n)-گروه های نا آبلی متناهی و نامتناهی می آوریم و به بحث در مورد متناهی و آبلی بودن چنین گروه هایی می پردازیم، سپس نشان می دهیم که طول حل پذیری T(m,n)-گروه ها ی حل پذیر، دارای کران بالایی بر حسب m, n است.

برای گروه G، Cent(G) نشان دهنده مجموعه تمام مرکزسازهای اعضای G وNaCent(G) نشان دهنده مجموعه تمام مرکزسازهای ناآبلی اعضای G است. گروه G یک Cn-گروه نامیده می شود اگر |Cent(G)| = n. مفهومCn - گروه ها اولین بار توسط بلکاسترو و شرمان معرفی شد و بعد از آن مورد توجه نویسندگان زیادی قرار گرفت. در فصل دوم این پایان نامه نشان می دهیم که دو شاخص |Cent(G)| و|NaCent(G)| تاثیر زیادی بر روی ساختار گروه G می گذارند ولی تساوی هرکدام در دو گروه لزوماً تساوی دیگری را تضمین نمی کند. همچنین گروه هایی که تعداد مرکزسازهای آن ها با هم برابرند را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم کران بالایی برای طول مشتق Cn- گروه های پوچ توان ارائه می دهیم و در فصل آخر، شاخص های جدیدی را در گروه تعریف و رابطه ای میان این شاخص ها و Cent(G) در گروه های ساده مینیمال پیدا می کنیم.

گروه های حل پذیر، مهمترین رده از گروه ها می باشند. در واقع حل پذیری گروه ها اولین بار توسط گالوا، برای حل پذیری چندجمله ای ها مطرح شد. برای گروه متناهی، (G)‎ را مجموع تمام مرتبه های عناصر G‎ در نظر بگیرید. می توان به صورت کلی ‎ ψ(X) را برای هر زیرمجموعه ‎ X‎ از ‎ G‎ تعریف کرد. در سال ‎2009‎، آقایان آیزاک و امیری ثابت کردند که اگر ‎ Gگروهی متناهی از مرتبه n ‎ باشد، آنگاه ‎ ψ(G)≤ψ(Cn) و حالت تساوی برقرار است اگروتنهااگر ‎G≅Cn‎ باشد. بنابراین مجموع مرتبه های تمام عناصرCn‎ ، بزرگتر از هر گروه دیگری از مرتبه n‎ است‎. هدف از این پایان نامه، اثبات دو محک برای حل پذیری گروه های متناهی است که توسط هرزوگ و لانگوباردی و ماج، در سال ‎2018 ثبات شده است. به این صورت که اگر G‎ یک گروه متناهی از مرتبه n‎ شامل زیرگروه ‎A با شاخص، توانی از عدد اول‎ p‎ و ‎A ‎ دارای زیرگروه نرمال و دوری B باشد بطوری که برای عدد صحیح نامنفی r ‎، AB‎ یک گروه دوری از مرتبه 2r است، آنگاه G‎ حل پذیر است‎.‎ دومین محک حل پذیری گروه های متناهی از مرتبه ‎n ، اشاره بر کسر ‎ψ(G)ψ(Cn) دارد به این صورت که اگر G‎ گروهی متناهی از مرتبه n‎ باشد که در شرط ‎ (G)≥16/68 ψ(Cn)صدق کند، آنگاه G‎ حل پذیر است.‎ کلیه‎ منابع این پایان نامه از مرجع [15] گرفته شده است.‎

فرض کنید G یک گروه متناهی باشد. در این صورت نوع مرتبه یکسان G را با αG یا nsc(G) مشخص می کنیم و تعریف می کنیم αG = که در آن Sn تعداد عناصر از مرتبه n در G و πe(G) مجموعه تمام مرتبه اعضای G می باشد. گوییم که یک گروه G، -αnگروه است. هر گاه |π(G)| α n. شین نشان داد که –α2گروه (α3-گروه) پوچتوان (حلپذیر) است. به علاوه وی ساختار چنین گروه هایی را بررسی کرد و حدس زد که اگر G، αn-گروه باشد. آنگاه |π(G)| α n. در این پایان نامه ثابت خواهیم کرد که هر گاه G یک گروه ساده غیرآبلی باشد، نوع مرتبه یکسان G، چهار عنصری است اگر و فقط اگر G یکریخت با گروه متناوب A5 باشد. در این پایان نامه ثابت شده استکه برای هر گروه ساده غیرآبلی G مقسوم علیه اول فرد p و q از مرتبه G وجود دارند. به طوری که مطالب این پایان نامه برگرفته از ]13[ می باشند.

مجموعهی اندازههای اعضای از مرتبهی یͺسان یͷ گروه از طرف بسیاری از محققان مورد توجه قرار گرفته است. یͷ دلیل استقبال پژوهشͽران این است که این موضوع به نوعr به مسالهی معروف تامپسون مرتبط مrشود. رولین شن، محقق چینr، ثابت کرد که گروههایr که از نوع مرتبهی یͺسان {n, 1 {یا {n, m, 1 {هستند، به ترتیب پوچتوان و حلپذیر هستند و ساختار آنها را نیز مشخص کرد. بنابراین این گروهها در مساله تامپسون صدق مrکنند. شن حدس زد که اگر G یͷ گروه متناهr با نوع مرتبهی یͺسان {nr, · · · , n2, 1{ باشد . آنگاه r)| ≤ G(π |که در آن (G(π مجموعهی تعداد شمارندههای اول مرتبهی G است. ما ثابت مrکنیم که این حدس برای همهی گروههای پوچتوان برقرار است. همچنین ثابت خواهیم کرد که اگر G یͷ گروه ساده ناآبلr باشد، آنگاه نوع مرتبهی یͺسان G چهارعضوی است اگر و فقط اگر G یͺریخت با گروه متناوب A5 باشد. در بخش دوم این پایاننامه هم یͷ شرط معادل برای همهی گروههای متناهr غیردوری پوچتوان با استفاده از ES- افرازها بدست می آوریم.

فرض کنیم G یک گروه متناهی باشد. زیرگروه A از G را TI- زیرگروه می نامیم هرگاه برای هر x عضو G داشته باشیم: A ∩ A^x = 1 یا A. زیرگروه H از G را یک QTI-زیرگروه می نامیم اگر (CG(x) ⊆ NG(H برای هر x ∈ H. و گروه G را MCTI-گروه می نامیم اگر همه زیر گروههای متادوری QTI-زیر گروه باشند. در این پایان نامه نشان میدهیم که همه MCTI-گروه های پوچ توان یا ددکیند هستند یا p-گروه و همه MCTI-p-گروهها را طبقه بندی خواهیم کرد. نشان میدهیم که همه MCTI-گروها حلپذیرند و MCTI-گروهی که پوچ توان نیست فروبنیوس گروه می باشد که دارای هسته آبلی و متمم دوری است.

در این پایان نامه ابتدا گراف مقسوم علیه صفر نسبت به یک ایده آل را برای مجموعه های جزئا مرتب دارای عنصر صفر، تعریف می کنیم. این گراف را با G(P)_I نشان میدهیم. نشان می دهیم قطر این گراف کمتر یا مساوی 3 است و همبند است. همچنین ثابت می کنیم عدد خوشه ای و عدد رنگی در این گراف برابر هستند. و این ثابت می کند که حدس بک در این حالت برقرار است.

در این پایان نامه به بررسی گروه های متناهی با تعدادی کم از TI-زیر گروه ها می پردازیم.

برای m\geq 1، گروه های متناهی غیر آبلی G را در نظر می گیریم که به ازای هر |C_G(g):|\leq m, g\in G\Z(G). نشان می دهیم که مرتبه G می تواند بین m و بزرگترین مقسوم علیه اول مرتبه G قرار گیرد.

\textbf{\large{چکیده}} \indent ~فرض کنید $ R $ یک حلقه تعویض پذیر و $ Nil(R) $ مجموعه عناصر پوچ توان $ R $ باشد. بدیهی است که $ Nil(R) $ ایده آلی از $ R $ است. فرض کنید $ Z(R) $ مجموعه مقسوم علیه های صفر $ R $ و $ Reg(R) $ مجموعه عضوهای منظم $ R $ باشد. در این پایان نامه گراف کلی $ R $ را که با $ T(\Gamma (R)) $ نشان داده می شود, معرفی و بررسی می کنیم. گراف کلی $ R $ یک گراف غیر جهت دار است با راس های $ Z(R)^{\ast}:=Z(R)\backslash \left\lbrace{0}\right\rbrace $ و دو راس متمایز $ x $ و $ y $ مجاورند اگر و تنها اگر $ x+y\in Z(R) $. همچنین, $ Nil(\Gamma (R)) $, $ Z(\Gamma (R)) $ و $ Reg(\Gamma (R)) $ که زیرگراف های القا شده ای از $ T(\Gamma (R)) $ هستند را به ترتیب با راس های $ Nil(R) $, $ Z(R) $ و $ Reg(R) $ نمایش می دهیم. برای این امر دو حالت را در نظر می گیریم, حالت اول وقتی که $ Z(R) $ ایده آلی از $ R $ باشد و حالت دوم وقتی که $ Z(R) $ ایده آلی از $ R $ نباشد.

فرض کنید R حلقه ای یکدار، \delta یک خودریختی R باشد. در این پایان امه مفایهم اساسی حلقه های اول (نیمه اول)، \delta-اول (\delta-نیمه اول)، \sigma-اول (\sigma-نیمه اول)، مشتق تعمیم یافته، مشتق متعامد و مشتق تعمیم یافته متعامد را معرفی می کنیم. شرایط لازم و کافی روی vیhg ارائه می دهیم به طوری که حلقه های چند جمله ای اریب R[x,x^{-1};\sigma]، R[x,\sigma] و R[x;\delta] اول یا نیمه اول باشند. همچنین، نتایجی مربوط به مشتقات تعمیم یافته ی متعامد برای ایده آلی غیر صفر از یک حلقه ای نیمه اول تعمیم داده شده است. این نتایجی تعمیمی از نتایج ام. بریشر و جی. ووکمن هستند.

در این پایان نامه زیر گروه S از G را اشتراک نرمالسازهای پوچ توان همه زیرگروه های گروه متناهی G تعریف می کنیم و قرار میدهیم S_0=1. برای i>1 یک سری نرمال با ویژگی ( S_i+1/S_i=S(G/S_i تعریف میکنیم و نشان خواهیم داد G=S اگر و تنها اگر باقیمانده پوچ توان G پوچ توان باشد. علاوه بر این اگر همه عناصر مرتبه ی اول G عضو S باشند انگاه G حل پذیر است و L_p(G) <1 l می باشد که (L_p(G همان p-طول G برای p اول است که در مجموعه اعداد اول |G| می باشد. کار این پایان نامه از [1] است.

پایان نامه مورد بحث در مورد انگل عناصری از یک گروه است که با یک سری یادآوری ها و تعاریف اولیه آغاز شده است. در اینجا به چند مورد آن اشاره می کنیم. انگل چپ: عنصر را یک انگل چپ از گروه G گویند هر گاه، به ازای هر ، عدد صحیح مثبتی مانند n موجود باشد به قسمی که جابجاگر . و مجموعه ی تمام انگل عناصر چپ گروه G را با (G) L نشان می دهیم. عنصر را یک k – انگل چپ از گروه G گویند هر گاه به ازای هر ، و مجموعه ی تمام k – انگل عناصر چپ از گروه G را با نشان می دهیم.همچنین مجموعه ی تمام عناصر متعلق به را انگل عناصر چپ کراندار از G گوییم. وتعاریف مشابه برای انگل عناصر راست نیز برقرار است. در این مقاله انگل عناصری از یک گروه را که به یک مجموعه ی خاص نسبت داده شده مورد بررسی قرار می دهیم. مثلاً اگر X یک زیر مجموعه از گروه G باشد در این صورت تمام انگل عناصر وابسته به مجموعه X رامورد بررسی قرار می دهیم و تمام تعاریف بیان شده در بالا در مورد زیر مجموعه ی X نیز صادق است. به همین ترتیب تمام انگل عناصر راست وابسته به X، را با و مجموعه تمام k– انگل راست های وابسته به X، را با نشان داده و در مورد بئررادیکال وهرش پلوتکین رادیکال از گروه G که تعاریف آنها به قرار زیر است صحبت می کنیم. {موضعاً پوچ توان باشد و B(G) = {aϵG :باشد زیر نرمال در { در خاتمه به یک سری از قضایای مهم و اساسی می پردازیم از جمله اینکه و را طبقه بندی کرده و روابط بین , , , را مورد بررسی قرار می دهیم (که در آنXG ) [1] و نشان می دهیم اگر X یک زیر گروه نرمال حل پذیر از G باشد آنگاه و [2] و[3].

در این پایان نامه ایده ال های اول وابسته ی توان های از یک ایده ال پلی ماتروایدل مورد مطالعه قرار میگیرد. نشان میدهیم در چه صورتی داراری مجموعه پایا تز ایده آل های اول وابسته هستند. شاخص پایایی بعضی از آنها مانند ایدهال های از نوع ورونه زه محاسبه میشود.

فرض کنیدG یک گروه باشد وx_1 ,x_2 ,…,x_n∈G. جابجاگر x_1 وx_2 که با [x_1 ,x_2 ] نشان داده می شود را به صورت 〖x_1〗^(-1) 〖x_2〗^(-1) x_1 x_2 تعریف می کنیم و برایn ≥2 به صورت [x_1,x_2,…,x_n ]=[[x_1,x_2,…,x_(n-1) ],x_n ] تعریف می کنیم با این قرارداد که[x_1 ]=x_1. فرض کنید x ,y ∈G. یک نماد مختصرنویسی مهم به صورت [x ,(_m^)y ] = [x,⏟(y,y,…,y)┬m ] است با این قرارداد که [x ,(_ 0 ^)y ]= [x]. زیرمجموعه ی S از گروه G را یک مجموعه ی انگل می نامیم اگر برای هرx ,y ∈S، یک عدد صحیح مثبت n=n_((x ,y) ) وجود داشته باشد به طوری که [x ,(_n^)y ]=1. فرض کنید S ={ x ,y }و G=〈S〉، که درآن Sیک مجموعه ی انگل است. آن گاه اعداد صحیح مثبت nوm وجود دارند به طوری که [x ,(_n^)y ]=1 و[y ,(_m^)x ]=1؛ و در این حالت می گوییم عضوهایx و yدوبه دو انگل هستند و هرگاه ،n ≥m آن گاه آن ها را دو به دو n- انگل می گوییم. اگرچه گروه تولید شده توسط یک مجموعه ی انگل متناهی لزوماً پوچ توان نیست، در این پایان نامه علاقه مندیم شرایطی را برای گروه تولیدشده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل متناهی پیدا کنیم که پوچ توان باشد. مرجع اصلی این پایان نامه، مقاله ای با عنوان "گروه های متناهی تولیدشده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل متناهی" از عبداللهی، برندل و تورتورا است که در منبع [1] آمده است. ابتدا نشان می دهیم که هر گروه از کلاس گروه های پوچ توان - بواسطه ی - آبلی تولید شده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل متناهی پوچ توان است و سپس تحقیق خود را روی گروه های تولید شده بوسیله ی یک مجموعه ی انگل از اندازه ی 2 متمرکز می کنیم و به طور کلی ثابت می کنیم که چنین گروهی پوچ توان است هرگاه متعلق به کلاس گروه های آبلی- بواسطه ی- پوچ توان از کلاس 2 باشد. یک موضوع متداول در تئوری عضوهای انگل، پیدا کردن شرایطی روی G است که L(G)=HP(G) و B(G)=L ̅(G)؛ که HP(G) و B(G) به ترتیب نشان دهنده رادیکال هیرسچ پولاتکین و رادیکال بیر می-باشد.

وجود زیرگروه های زیرنرمال تاثیر زیادی بر روی ساختار گروه ها دارد. تا آنجا که در سال 1998 گروه هایی با دو نرمالساز توسط روماس بررسی شد. در ادامه این کار در سال 2000 گروه های موضا متناهی با دو نرمالساز را مورد بررسی قرار داد. در ادامه توتا گروه های دلخواه با سه و چهار نرمالساز را مشخص کرد. در این پایان نامه گروه هایی با تعداد متناهی از زیرگروههای نرمال ساز را مورد بررسی قرار می دهیم و به تاثیر حل پذیری گروه های متناهی توسط زیرگروههای نرمالساز آنها می پردازیم و نشان می دهیم که گروه هایی با 20 نرمالساز حلپذیرند.

هدف اصلی این تحقیق محاسبه ی عمق استانلی ایده آل های تک جمله ای و ارتباط تجزیه های استانلی با پلایش های اول است و همچنین افراز های مجتمع های سادکی است. نشان می دهیم اگر $I\subset J$ دو ایده آل تک جمله ای در حلقه چند جمله ایها باشند، انگاه عمق استانلی $I/J$ را می توان در تعداد متناهی مرحله محاسبه کرد.

در این پایان نامه گروه هایی با تعداد متناهی از زیرگروههای نرمال ساز را مورد بررسی قرار می دهیم. گروه های با یک به گروههای ددکیند معروفند. توماس و مورا به طبقه بندی گروه هایی با دو نرمالساز پرداختند. در این پایان نامه ما به تاثیر حل پذیری گروه های متناهی توسط زیرگروههای نرمالساز آنها می پردازیم و نشان می دهیم که گروه هایی با سه و چهار نرمالساز می پردازیم.

\thispagestyle{empty} در این پایان نامه، تعداد کلاسهای مزدوجی از زیرگروه های غیردوری برای گروه $H$ را با $\delta(H)$ نشان می دهیم. گروه هایی که همه ی زیرگروه های حل پذیر آن مانند $H$، در شرط $\delta(H) \leqslant 2$ صدق می کنند، دسته بندی می شوند. همچنین نشان داده می شود که طول حل پذیری و طول فیتینگ گروه حل پذیر $H$، بوسیله توابعی از $\delta(G)$ کران دار می باشند.

در سال 2001 نیومن به بررسی ساختار گروه ها بر اساس زیر مجموعه های خاصی از آنها پرداخت. فرض کنید $G$ یک گروه و $\eta یک کلاس از گروه های پوچتوان باشد. $G$ را یک $-\eta(m,n)$ گروه، گوییم اگر برای هر دو زیر مجموعه $M$ و $N$ به ترتیب از مرتبه های $m$ و $n$ عناصر $x\inM$ و $y\inN$ وجود داشته باشند به طوری که $\in \eta$ .\\ در این پایان نامه گروه های Gرا که در شرط $\eta(m , n)$ صدق می کنند را، مورد بررسی قرار می دهیم. ما حدس می زنیم که هر $\eta(m , n)$ -گروه نامتناهی، پوچتوان ضعیف است. (یعنی هر زیر گروه دو مولده از G پوچتوان است.)\\ از طرفی ثابت می کنیم که اگر G یک گروه غیر حل پذیر متناهی باشد که در شرط $\eta(m , n)$ صدق کند، آنگاه $\mid G\vert \leqslant Max\lbrace m,n\rbrace C^{2Max\lbrace m,n\rbrace ^2 }[log_{60}^{Max(m,n)}]!$ که در آن $C\leqslant Max\lbrace m,n\rbrace$ همچنین با اثبات اینکه یک $\eta( m,n)$ -گروه، گروهی حل پذیر است هر زمان که $m+n<59$ یک شرط کافی برای حل پذیری بدست می آوریم. در آخر ثابت می کنیم که کران 59 نمی تواند بهبود پیدا کند. در واقع تساوی برای یک گروه غیر حل پذیر برقرار است اگروتنها اگر $G\cong A_{5}$ که در آن $A_{5}$گروه متناوب از درجه 5 است.

گراف غیر پوچتوان NG را به گروه G به این صورت نسبت می دهیم که مجموعه رِئوس گراف NG عناصر G باشند و دو راس در این گراف مجاور خواهند بود اگر زیرگروه غیر پوچتوانی را تولید کنند». در این پایان نامه ویژگی های نظری گراف N_G و زیرگراف القاء شده N_G‎ روی ‎G-nil(G)که در آن‎:‎ nil(G)={x∈G|است پوچتوانزیرگروه,y∈G هر برای} را مطالعه می کنیم‎.‎ به کمک گراف N_G،‎ گروه های پوچتوان را خواهیم شناخت‎.‎ در حقیقت ثابت می کنیم که گروه متناهی ‎G‎ پوچتوان است اگر و تنها اگر مجموعه ی درجه های رئوس گراف N_G‎ حداکثر دو عضو داشته باشد‎.‎

فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و (B(H جبر همه عملگرهای خطی کراندار روی H باشد. در این پایان نامه نشان خواهیم داد که اگر H یک فضای هیلبرت نا متناهی بعد باشد آنگاه صفر یک نقطه کاملاً مشتق پذیر جردن تعمیم یافته در (B(H است. همچنین نشان می دهیم برای هر فضای هیلبرت H ، عملگر همانی I یک نقطه کاملاً مشتق پذیر جردن در (B(H است. در ادامه نقاط کاملاً مشتق پذیر را در جبرهای لانه ای روی یک فضای هیلبرت H بررسی می کنیم.

در این پایان نامه فرض می کنیم که ماتریس های مختلط نرمال با مزدوج مختلطشان جابجا شوند.  نشان داده می شود که ماتریس های نرمال حقیقی متشابه متعامد جمع مستقیم بلوکهای 1x1 و 2x2 می باشند همچنین فرم کانونی برای ماتریس های شبه - نرمال ارائه می دهیم. در ادامه فرم خاصی از قضیه طیفی را برای ماتریس های نرمالی که با مزدوج مختلط خود جابجا می شوند ثابت می کنیم.