امجد علی پناه

در این پایان نامه، ابتدا نگاهی گذرا به مفهوم موجک و بالاخص موجک دابیشز می اندازیم و همچنین نحوه ساخت این نوع موجک را بیان می کنیم. سپس به معرفی روشی کارا و کم هزینه برای به دست آوردن انتگرال حاصل ضرب چندجمله ای ها و تابع مقیاس دابیشز می پردازیم. در حل این انتگرال به ماتریس ضرایبی می رسیم که برخی از ویژگی های این مانند خوش وضعی و اکیدا غالب قطری را بررسی خواهیم کرد. در ادامه، الگوریتم ارائه شده را برای حل معادله انتگرال ولترای مدل جمعیت به کار برده و نتایج عددی و کران خطای روش را نیز به دست خواهیم آورد

تمرکز این رساله روی بررسͬ پایداری قاعده های تعیین مساحتِ فیلون‐کلینشا‐ کرتیس برای محاسبۀ انتگرال های نوسانͬ با تابع فاز خطͬ است. در این رساله، ابتدا به معرفͬ انتگرال های نوسانͬ و بیان کاربرد آنها در مسئله هایی مانند پراکندگͬ با بسامد بالا مͬ پردازیم. سپس عددهای حالت طبیعͬ و عمل،ͬ که محͺͬ برای میزان خطای ناشͬ از پدیدۀ از دست رفتن رقم های بامعنͬ در محاسبۀ مجموع عددهای مختلط است، معرفͬ مͬ شوند. رابطه بین این دو عدد و اندازه آنها بررسͬ مͬ شود. نشان داده مͬ شود عدد حالت عملͬ برای مجموع یابی عددهایی که همͽͬ در یͺͬ از ربع های صفحه مختلط قرار دارند، برابر یͷ است. همچنین یͷ کران بالا برای عدد حالت طبیع،ͬ وقتͬ عددها در یͷ قطاع با زاویۀ نابیشتر از /۲π قرار دارند، ارائه مͬ شود. در ادامه، نشان مͬ دهیم ضریب های قاعده (+۱ N‐(نقطه ای فیلون‐کلینشا‐کرتیس، برای هر ۲ < N، هرگز در یͷ قطاع قائم از صفحۀ مختلط قرار نمͬ گیرند، در حالت ۱ = N یعنͬ قاعده دو نقطه ای، ضریب های این قاعده تنها زمانͬ که(/۴π − dπ /۴,π۳ − dπ ∈ [k برای هر عدد صحیح ۰ < d به اندازه کافͬ بزرگ، در یͷ قطاع قائم قرار مͬ گیرند و اگر ۲ = N و (/۴π − dπ /۲,π − dπ ∈ (k ضریب ها در یͷ ناحیه پایداری هستند. همچنین، بازه های پایداری را به ازای عدد موج k توسعه داده و ثابت مͬ کنیم که در موارد زیر قاعده های فیلون‐کلینشا‐کرتیش مͬ توانند به طور پایدار رفتار کنند: .۱ قاعده دونقطه ای هرگاه k به اندازه کافͬ از dπ دور باشد. .۲ قاعده سه نقطه ای به ازای(dπ /۲,π − dπ ∈ [k از نقطه انتهایی dπ دور باشد. .۳ قاعده چهارنقطه ای به ازای (dπ /۲,π − dπ ∈ [k که به اندازه کافͬ از هر دو نقطۀ انتهایی /۲π − dπ و dπ دور باشد.

هدف اصلی این رساله، ارائە ی روش جدید هم محلی بر اساس تابع سینک غیرکلاسیک برای حل معادلات دیفرانسیل و دستگاە های معادلات انتگرو⁃دیفرانسیل می باشد. نوآوری این روش مبتنی بر استفاده از تابع وزن غیرکلاسیک جدید برای روش سینک به جای تابع وزن کلاسیک است. درونیابی بر اساس توابع سینک غیرکلاسیک نیز مانند درونیابی با توابع سینک کلاسیک دارای دقت نمایی است. از روش هم محلی سینک غیرکلاسیک برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم منفرد، معادلات دیفرانسیل مرتبه سوم و دستگاه معادلات انتگرو⁃دیفرانسیل مرتبه دوم خطی استفاده می کنیم که مرتبه همگرایی روش در همە ی موارد فوق، نمایی می باشد. همچنین از روش های هم محلی SEسینک غیرکلاسیک و DEسینک غیرکلاسیک برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه سوم منفرد و از روش هم محلͬ DEسینک غیرکلاسیک برای حل دستگاه معادلات انتگرو⁃دیفرانسیل استفاده می کنیم که همگرایی روش برای این معادلات نیز دارای دقت نمایی است. استفاده از توابع پایه سینک غیرکلاسیک مزایایی دارد: اول، مانند توابع پایە ای سینک دارای دقت نمایی می باشند. دوم، در برخورد با مساله که دارای تکینگͬی هستند رفتار خوبی دارد. سوم، با انتخاب برخی وزن های مناسب، دقت بهتری نسبت به روش های عددی مبتنی بر توابع سینک دارند. چهارم، حل مشکل مشتق ناپذیری توابع سینک در نقاط مرزی دامنە های متناهی .

در این پایان‌نامه، ابتدا دستگاه معادلات جبری-انتگرال با هسته منفرد ضعیف را معرفی می‌کنیم اندیس کنترل‌پذیری و ‎$\nu$-‎همواری را برای این دستگاه تعریف کرده و سپس روش عددی انتگرال ضربی را بر پایه چندجمله‌ای‌های متعامد ژاکوبی برای حل دستگاه معادلات جبری-انتگرال منفرد ضعیف به کار می‌بریم و همچنین با ارائه قضیه‌ هایی، آنالیز همگرایی روش مذکور را انجام می‌دهیم و درپایان با ارائه دو مثال عددی، سازگاری نتایج عددی را با تحلیل تئوری نشان خواهیم داد.

معادله کلاین-گوردون، حالت نسبیتی معادله شرودینگر است و برای توجیه ذرات کوانتومی بااسپین صفر به کار می‌رود. این معادله به اسم دو فیزیکدان به نام‌های اسکار کلاین و والتر گوردون نامگذاری شده‌اند. ر این پایان‌نامه، روش‌هایی عددی بر پایه تفاضلات متناهی برای حل معادله‌ی هذلولی یا اصطلاحاً معادله‌ی موج یک‌بعدی و غیرخطی کلاین-گوردون را به همراه شرایط اولیه‌ی غیرمحلی در نظر می‌گیریم. ر این پایان‌نامه، روش‌های تفاضل متناهی مرتبه چهار به صورت صریح و ضمنی برای معادله‌ی با شرایط داده شده، ارائه می‌شوند. همچنین پایداری و پابرجائی روش را با محاسبه نرم-2 خطا برای 3 مثال بررسی می‌کنیم. نتایج عددی حاصل با روش‌های دیگر مقایسه می شود.

در این پایان نامه، دو روش تفاضل متناهی اویلر پسرو فشرده و کرانک-نیکلسون فشرده برای تقریب معادله ی گرمای یک بعدی با شرط اولیه ی غیرمحلی ارائه می شود. به عنوان یک نتیجه، ویژگی های پایداری روش های عددی معرفی شده را مورد بررسی قرار می دهیم. چند مثال که نتایج حاصل از شرایط پایداری عددی در آن ها مورد بررسی قرار گرفته، آورده می شود.

در این پایان نامه، یک روش عددی برای حل معادله یک بعدی برگرز با استفاده از توابع پایه شعاعی مولتی-کوادریک برای تقریب بعد مکان و یک طرح تفاضل متناهی فشرده مرتبه دوم برای تقریب بعد زمانی ارائه می شود. سرانجام نتایج عددی به ازای توزیع گره های غیریکنواخت و همچنین تحلیل خطا و همگرایی روش انجام می شود. در ضمن نتایج عددی حاصل با روش های دیگر مورد مقایسه قرار می گیرد.

در این رساله ما روش توابع پایه ی شعاعی گویا را برای درونیابی توابع و حل برخی معادلات با مشتقات جزئی وابسته به زمان به ویژه در حالتی که تابع تحت بررسی یا جواب معادله ی با مشتقات جزئی ناپیوسته یا دارای شیب تند است به کار می بریم. برای حل معادلات دیفرانسیل وابسته به زمان مشتقات مکانی را با استفاده از روش توابع پایه ی شعاعی گویا تقریب می زنیم. سپس از روش های متعددی برای مواجهه با مشتق زمانی معادلات استفاده می کنیم. در یک رده از روش ها رهیافت های استاندارد تفاضلات متناهی را برای گسسته سازی مشتقات زمانی به کار می بریم. در رده ای دیگر، از روش رونگه کوتای مرتبه ی ‎4‎ برای تقریب مشتقات زمانی استفاده می کنیم.

در این پایان‌‌نامه، دو روش عددی برای تقریب معادله یک بعدی برگرز ارائه می‌شود، ابتدا بعد مکان را با استفاده از تابع پایه شعاعی مولتی-کوادریک تقریب زده، و برای تقریب بعد زمان از دو روش تفاضلات متناهی فشرده مرتبه دوم و روش رانگه -کوتای مرتبه چهار استفاده می‌کنیم. نتایج حاصل از این روش را با روش‌های دیگر مقایسه کرده و نمودار جواب دقیق و نمودار خطا را به ازای این دو روش آورده‌ایم

در این پایان نامه روش هم مکانی موجک برای حل معادله انتقال زیست گرمایی پِنِس، که مدل بندی رفتار حرارتی بافت زنده می باشد را مورد مطالعه قرار می دهیم. از روش هم مکانی موجک دابیشز برای تقریب عملگر مکان و همچنین از ایده ی تفاضلات متناهی برای گسسته سازی زمان استفاده می شود. ایده ی موجک های دابیشز با محمل فشرده برای تولید آنالیز چند ریزه سازی استفاده می شود. نتایج عددی نشان دهنده کارایی و موثر بودن روش می باشد. همچنین خطای مطلق برای این روش ارائه شده است.

روش تفاضلی کوادراتور یک روش گسسته سازی عددی است که در اصل برای تقریب مشتق استفاده می شود و ایده اصلی آن از فرمول انتگرال گیری عددی استخراج شده است. در این پایان نامه، به بررسی روش تفاضلی کوادراتور برای حل معادله غیرخطی براتو می پردازیم. برای این کار ابتدا مساله را به یک مساله تکراری تبدیل می کنیم و سپس مساله تکراری به دست آمده را تا رسیدن به دقت مطلوب حل می کنیم. روش تفاضلی کوادراتور استفاده شده در اینجا بر پایه چندجمله های متعامد می باشد، لذا در فصل های ابتدایی پایان نامه انواع چندجمله ای های متعامد، روش ساخت و ویژگی های آنها بررسی شده است.

دراﻳﻦﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ، اﺑﺘﺪا ﺑەﻣﻌﺮفی ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺳﺎﻳﻦ‐ﮔﻮردون و روش ﺗﻘﺮﻳﺐ ﭘﺎده میﭘﺮدازﯾﻢ، ﺳﭙﺲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ازروش ﻧﻴﻤﻪﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺮاﺳﺎس روشﺗﻘﺮﻳﺐﭘﺎده اﻳﻦﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﻪ یک ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﻣﻌﻤﻮلی ﺗﺒﺪﯾﻞﮐﺮدە و آنرا ﺑﻪ وﺳﯿﻠەی ﭼﻨﺪروش ﺗﻔﺎﺿﻼت ﻣﺘﻨﺎهی ﺣﻞ میﮐﻨﯿﻢ. در اداﻣە ﺗﺤﻠﯿﻞ ﭘﺎﯾﺪاری و ﻫﻤگراﯾﯽ روش را درﺣﺎﻟﺖ ﻣﯿﺮا و ﻏﯿﺮﻣﯿﺮا ازﻧﻈﺮﻋﺪدیﺑﺮرﺳ می ﮐﻨﯿﻢ. در ﭘﺎﯾﺎن ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻋﺪدی ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﻘﺮﯾﺐ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺳﺎﯾﻦ‐ﮔﻮردون را ﺑﺎ روش ﻫﺎی دﯾگر ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ میﮐﻨﯿﻢ.

در این پایان نامه،‎ مدل ریاضی یک راکتور شیمیایی که یک واکنش شیمیایی گرما ده و برگشت ناپذیر است را در نظر می گیریم. در حالت پایدار ، مدل را می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی معمولی با شرایط مرزی مشخص در نظر گرفت. این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی معمولی به یک معادله انتگرال همرشتاین تبدیل می شود ، که می توان آنرا به صورت عددی حل کرد. در این پایان نامه ما از روش موجک B-اسپلاین برای حل عددی این معادله انتگرال استفاده می کنیم. روش موجک B-اسپلاین معادله انتگرال را به یک سیستم از معادلات جبری تبدیل می کند که می توان آنرا با استفاده از روش های موجود حل کرد.

در این رسالە، ابتدا نحوۀ ساخت موجͷ ها بر اساس آنالیز چندریزەسازی را بررسͬ مͬ کنیم و بە طور خاص بر روی ساخت تابع مقیاس موجͷ دابیشز، ویژگͬ های آن و نحوەی محاسبەی آن در نقاط دوتایی تمرکز مͬ کنیم. سپس بە طور مفصˁل نحوەی بە دست آوردن انتگرال و مشتق تابع مقیاس موجͷ دابیشز را توضیح مͬ دهیم و نشان مͬ دهیم، او̰لا˟ ماتریس هایی کە در حین انجام محاسبات مربوط بە دست آوردن انتگرال و مشتق با آنها برخورد مͬ کنیم، ماتریس هایی خوش وضع بودە و در نتیجە دشواری خاصͬ در حین کار با آنها بە وجود نمͬ آید و ثانیاً این انتگرال ها و مشتق ها در نقاط دوتایی، علͬ رغم عدم وجود فرم بستە برای موجͷ دابیشز، کاملا́ دقیق محاسبە شدەاند. بە علاوە بە وسیلەی یͷ روش طیفͬ مبتنͬ بر پایەهایی کە اعضای آن توابع مقیاس موجͷ دابیشزاند و با استفادە از ویژگͬ های موجͷ دابیشز، روشͬ تازە برای حل مسائل حساب تغییرات ارائە مͬ کنیم و روش مذکور را روی یͺͬ از مشهورترین مسائل حساب تغییرات، بە نام مسالەی کوتاهترین خم زمانͬ پیادە مͬ کنیم. با آنالیز خطا، کران داری خطای روش مورد نظر را طͬ قضیەای نشان مͬ دهیم و بە وسیلەی نتایج عددی کارایی روش را نشان خواهیم داد. در ادامە روش طیفͬ مبتنͬ بر توابع مقیاس موجͷ دابیشز را روی یͷ معادلەی انتگرالͬ بە نام مدل جمعیˁتͬ ولترا پیادە کردە و نشان مͬ دهیم مͬ توان با استفادە از ویژگͬ های موجͷ دابیشز بسیاری از قسمت های مسالە را بدون خطا و بە طور دقیق محاسبە نمود و تنها هنگام حل دستگاه غیر خطͬ خطا بە وجود مͬ آید. در اینجا نیز با آنالیز خطا و اثبات قضیەی مربوطە نشان مͬ دهیم خطای روش کران دار است و با بالا بردن دقّت، خطا کاهش مͬ یابد.

توابع پایه شعاعی یک روش مشهور برای درون یابی و حل معادلات دیفرانسیل جزئی ‎می باشد. تعداد زیادی از آنهای مورد استفاده در این مسائل شامل یک پارامتر شکل است و شواهد تجربی نشان می دهد که دقت، به شدت به مقدار این پارامتر شکل وابسته است. در این پایان نامه، به حل مسائل معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش تفاضل متناهی پایه شعاعی تمرکز می کنیم. پیشنهاد ما یک الگوریتم کارآمد، برای محاسبه ی مقدار پارامتر شکل بهینه است که خطای تقریبی را به حداقل می رساند. الگوریتم مبتنی بر تحلیل تقریب های خطای روش محلی به دست آمده در مرجع [28] امده است.

در این پایان نامه، به معرفی انواع جمع و ضرب، روی ماتریس ها همچنین طیف آنها می پردازیم. در ادامه با استفاده ازمفهوم طیف، جمع کرونکر و ضرب کرونکر ماتریس ها طیف دو خانواده از انواع ماتریس های هنکل پاد سه- قطری را به دست می آوریم. در ادامه نشان خواهیم داد که روش های ارائه شده در این پایان نامه، برای به دست آوردن طیف ماتریس های پاد سه-قطری، سریع و هزینه محاسباتی کمی دارند.

در اﯾﻦ ﭘﺎﯾﺎن ﻧﺎﻣﻪ، دﺳﺘﻪ ای از روش ﻫﺎی ﻋﺪدی ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﺴﺎب ﺗﻐﯿﯿﺮات ﺑﺮ ﭘﺎﯾﻪ روش ﻫﺎی ﺷﺒﻪ ﻃﯿﻔﯽ ﻏﯿﺮﮐﻼﺳﯿﮏ اراﺋﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد. ﻣﺰﯾﺖ روش ﻏﯿﺮﮐﻼﺳﯿﮏ آن اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺎی وزن ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺑﺮای ﺗﻮﻟﯿﺪ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﻫﺎی ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ و داﻣﻨﻪ ﺑﺰرگ ﺗﺮی ﺑﺮای ﻧﻘﺎط ﻫﻢ ﻣﮑﺎﻧﯽ اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎدﯾﺮ وﯾﮋه و ﺑﺮدار ﻫﺎی وﯾﮋه ی ﯾﮏ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲﺳﻪ- ﻗﻄﺮی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﻫﺎی ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ، ﮔﺮهﻫﺎ و وزنﻫﺎ یا اﻧﺘﮕﺮال ﮔﯿﺮیﻋﺪدی ﮔﺎوس اراﺋﻪ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ. ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ در اداﻣﻪ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻋﺪدی ﺑﺮای ﺣﻞ ﭼﻨﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﺴﺎب ﺗﻐﯿﯿﺮات آورده ﺷﺪه اند.

در این پایان نامه یک روش عددی مبتنی بر توابع پایه شعاعی برای تقریب معادله ساین - گوردون یک بعدی و دو بعدی ارائه شده است. همچنین در این روش از توابع پایه شعاعی متفاوتی استفاده شده و از لحاظ دقت و عدد حالت بین آن ها مقایسه صورت گرفته است، نتایج این مقایسه نشان می دهد دقت تابع گاوسی بهتر از مولتی کوادریک معکوس و مولتی کوادریک است و عدد حالت ماتریس ضرایب تابع گاوسی بیشتر از مولتی کوادریک معکوس و مولتی کوادریک است. روش استفاده شده بدون شبکه است بنابراین هزینه محاسباتی کمتری نسبت به روش های نیازمند شبکه بندی دارد، و همچنین تنها از مفهوم نرم استفاده شده بنابراین قابلیت استفاده در ابعاد بالاتر را نیز دارد

در این رساله، کاربرد روش اجزای طیفی در تقریب جواب عددی برخی مسائل علوم و مهندسی بررسی می شود. این روش که ترکیبی از دو روش معمول حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، یعنی روش طیفی و روش اجزای محدود است، به طور مطلوبی ویژگی های مثبت دو روش را به ارث می برد. پس روش اجزای طیفی هم انعطاف پذیری هندسی روش اجزای محدود و هم دقت بالای روش های طیفی را دارد. استفاده از چندجمله ای های لاگرانژ در نقاط لژاندر - گاوس- لوباتو، منجر به ماتریسقطری جرم می شود و این ویژگی مهمی در کاهش میزان محاسبات است. درنتیجه ما در این رساله از این چندجمله ای ها به عنوان پایه استفاده می کنیم. در فصل های ابتدایی مفاهیم و مقدمات لازم برای پیاده سازی و محاسبه ماتریس های مورد نیاز روش اجزای طیفی لژاندر آورده می شود. قضیه همگرایی به همراه یک مثال عددی ساده ارائه می شود. در ادامه برخی مسائل مهم و پرکاربرد در علوم مختلف با این روش حل شده و جنبه های تئوری و کاربردی آنها بررسی می شود. این مسائل عبارتند از معادله ساین - گوردون، مسئله کنترل بهینه با قید مشتقات جزئی بیضوی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تصادفی و معادلات انتگرال - دیفرانسیل ولترا. برای تمام این مسائل آنالیز خطا و نتایج عددی به طور مفصل بررسی شده است. مقایسه نتایج عددی حاصل نشان می دهد که کارایی و دقت روش اجزای طیفی نسبت به سایر روش ها بهتر و برای مسائل مختلف قابل استفاده است. به وضوح می توان دید که برای به دست آوردن دقت بالاتر می توان درجه چندجمله ای های پایه و یا تعداد اجزا را به دلخواه افزایش داد. در پایان هم روش اجزای طیفی گسسته گالرکین را معرفی می کنیم. ماتریس های لازم در این روش را با استفاده از انتگرال گیری عددی به دست آورده و معادله تعادلی جمعیت را با استفاده از این روش حل می کنیم.

روشهای متعددی برای محاسبه انتگرال توابع با نوسان زیاد وجود دارند که از جمله این روشها میتوان به روش بسط مجانبی، روش لوین، روش فیلون و روش گام کاهشی اشاره کرد. در این پایان نامه، ابتدا به معرفی مختصری از روش های بسط مجانبی، روش لوین و فیلون به همراه مزایا و معایبآنها می پردازیم. در ادامه روش لوین براساس توابع پایه شعاعی مولتی کوادراتیک و گاوسی را ارائه می کنیم. همچنین تاثیر وجود نقطه ایستا بر جواب نیز بررسی می شود.

تبدیل هنکل یک نوع تبدیل انتگرالی است که در مسائلی که دارای تقارن کروی هستند بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. هسته تبدیل هنکل تابع بسل است و چون تابع بسل شامل یک سری نامتناهی است لذا ما برای حل مسائلی از این قبیل نیاز به تقریب می باشیم. در این پایان نامه به معرفی انواع تبدیلات انتگرالی از قبیل تبدیل فوریه، تبدیل لاپلاس و تبدیل تابع بسل می پردازیم و در ادامه پایه های قطعه ای پیوسته مانند هار، بلاک پالس و پایه های والش را معرفی کرده و با استفاده از این پایه های قطعه ای پیوسته به تقریب این نوع تبدیل می پرازیم و سپس نتایج عددی حاصل را با روش های دیگر از نظر حجم عملیات و دقت مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه به طور مختصر به معرفی موجک ها به ویژه موجک دابیشز می پردازیم. در ادامه نحوه نمایش انواع عملگرهای دیفرانسیل ‎$ \frac{d^n}{dx^n} $‎ برای ‎$ n\in \mathbb{N} $‎ را به طور صریح و دقیق با استفاده از موجک دابیشز بیان خواهیم کرد. سپس پایه های متعامد نرمال دابیشز را برای تبدیل هیلبرت بررسی می کنیم، که این نمایش روش هایی برای محاسبه عملگرهای پیچش چند بعدی را به دست می دهد. همچنین نمایش عملگرهای انتقال در پایه ی موجک دابیشز را بررسی می کنیم. در ادامه یک الگوریتم سریع با حجم محاسباتی ‎$\mathcal{O}\Big(N\log(N)\Big)$‎ را برای انواع عملگرهای مشتق و انتگرال ارائه می کنیم، که در آن ‎$ N=2^n$‎ و ‎$n$‎ وضوح نمایش موجک می باشد.

در این پایان نامه به معرفی پایه های قطعه ای پیوسته می پردازیم. از جمله این پایه ها، می توان به بلاک-پالس، هار، والش و پایه های ترکیبی اشاره کرد. سپس ویژگی ها و ماتریس های عملیاتی انتگرال آنها را تعیین می کنیم. در ادامه با استفاده از توابع پایه قطعه ای پیوسته، مسائل حساب تغییرات را تقریب می زنیم. همچنین با ارائه چند مثال، نتایج عددی حاصل از هر کدام از این پایه ها را از نظر دقت و حجم عملیات مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه ، انتگرالگیرهای نمایی کسری برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری بررسی می شود. معادلات دیفرانسیل جزئی زمان-کسری پس از گسسته سازی با روش های متداول به یک مسئله نیمه خطی مقدار اولیه تبدیل می شوند و برای حل آن انتگرالگیرهای گام-زمانی را می توان به کار گرفت. انتگرالگیرهای نمایی بر مشکل پایداری فائق می آیند ، زیرا جملات خطی و معمولاً سرسخت با تابع میتاگ-لفلر‎‎ به طور دقیق حل می شود و محدودیت های قوی روی طول گام چندان ضروری نمی باشد. از طرف دیگر ، برای جمله ی غیرخطی انتگرالگیرهای صریح به کار گرفته می شود. تحلیل خطای این روش نشان می دهد که انتگرالگیرهای نمایی کسری تحت شرایطی روش هایی همگرا می باشند‎.

در این پایان نامه تعمیم جدیدی از نظریه قاب ها روی فضاهای باناخ مطالعه می شود، که قاب هیلبرت-شودر نامیده می شود و این تعمیم با استفاده از عملگرهای قاب و عملگرهای مثبت انجام می شود. سپس نتایجی در مورد این قاب ها و ارتباط آنها با ساختار فضاهای باناخ به دست می آید.

در این پایان نامه، موجک دابیشز را معرفی کرده و نحوه ی ساخت آن را بیان می کنیم، سپس با استفاده از آنالیز چندریزه سازی، روابط دومقیاسی و الگوریتم کسکد، موجک دابیشز را که یک موجک متعامد نرمال با محمل فشرده تولید می کند، را می سازیم و انتگرال تابع مقیاس دابیشز را در نقاط صحیح و نقاط دوتایی محاسبه می کنیم. در ادامه، انتگرال حاصل ضرب تابع دلخواه با تابع مقیاس را که یک ضرب داخلی است با روش های مختلف انتگرال گیری عددی محاسبه می کنیم. همچنین انتگرال یک تابع دلخواه را با استفاده از بسط تابع به کمک موجک دابیشز با روش های یک نقطه ای، چند نقطه، چندجمله ای اصلاح شده چبی شف به دست می آوریم. با ارائه چند مثال، خطای روش ها را بررسی می کنیم.

در این پایا ن نامه، دنباله های بسل و پایه های متعامد یکه را برای فضای هیلبرت معرفی می کنیم، دو نوع از پایه های فضای $L^{2}(\mathbb{R})$، به نام های پایه موجک و پایه گابور را تعریف می کنیم. سپس به محدودیت این پایه ها و نیاز به تعریف قاب ها اشاره می کنیم. در ادامه به معرفی قاب های فضای هیلبرت می پردازیم و بعد از بحث در مورد خواص این قاب ها با یکی از روش های ساخت قاب های تنگ نرم-واحد به نام تتریس طیفی آشنا می شویم. سرانجام کاربرد قاب های فضای هیلبرت را در حوزه پردازش سیگنال و حل عددی معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی که منجر به روش گالرکین-موجک می شود، بیان می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا تقریب سینک را بررسی نموده سپس حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم را با استفاده از روش هم محلی سینک ارائه می دهیم. همچنین همگرایی تقریب سینک را برای این دسته از معادلات انتگرالی به صورت تحلیلی بررسی کرده و نشان می دهیم مرتبه همگرایی نمایی می باشد. در بخش پایانی مثال هایی را با روش حاصله حل کرده و نشان خواهیم داد که تقریب سینک برای مدل مورد نظر دارای دقت بالایی می باشد و نتایج عددی عملا نتایج نظری را به اثبات می رسانند.

در این پایان نامه به طور مختصر به معرفی موجک و نحوه ی ساختن آن می پردازیم. در ادامه موجک های دوبار متعامد و نحوه ساخت آن با توجه به آنالیز چندریزه سازی مربوطه ارائه می شود. سپس با استفاده از پایه های موجک دوبار متعامد، روش پترو-گالرکین را برای حل معادله KdV به کاربرده و در ادامه همگرایی و پایداری روش برای معادله KdV مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

انتگرال توابع با نوسان زیاد دارای کاربردهای زیادی در حل معادلات دیفرانسیل نوسانی، معادلات انتگرال صوتی و غیره می باشند اما محاسبه این انتگرال ها مشکل است‎. در این پایان نامه به ارائه انواع روش های عددی برای تقریب انتگرال توابع با نوسان زیاد می پردازیم، که دقت این روش ها با افزایش نوسان، افزایش می یابد. در ابتدا روش بسط مجانبی را که نقطه عطفی برای معرفی سایر روش ها است معرفی می کنیم. از جمله روش های دیگر، روش فیلون است که به محاسبه گشتاورها نیاز دارد. روش لِوین، که بر خلاف روش فیلون به محاسبه گشتاورها احتیاج ندارد ولی دقت آن از روش فیلون کم تر است. در ادامه روش گام کاهشی را معرفی می کنیم که بر پایه قاعده انتگرال گیری گاوس- لاگر است و به انتگرال توابع نوسانی روی بازه نیمه متناهی گسترش داده می شود.

در این پایان نامه به مطالعه ی یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی دو بعدی و سه بعدی تحت عنوان روش درون یابی نقطه شعاعی می پردازیم. در این روش تابع درون یاب برحسب مقادیر تابع مجهول در نقاط درون یابی بیان می شود. از مزیت های این روش این است که تابع درون یاب بر حسب توابع شکل بیان می شود که خواص تابع دلتای کرونکر را دارند. برای هر نقطه یک زیر دامنه تحت عنوان دامنه موثر در نظر گرفته می شود و فقط نقاط مربوط به این زیر دامنه در مورد نقطه مذکور تاثیر داده می شود و سایر نقاط نادیده گرفته می شوند. در نتیجه ماتریس درون یابی به یک ماتریس تنک تبدیل می شود که این باعث کاهش بدوضعی و افزایش کارایی محاسباتی می شود.

در این پایان نامه دستگاه های خطی نامعین بلوکی 2 در 2 را بررسی می کنیم که در آنها بلوک (2و2) ماتریس بلوکی ضرایب صفر است. چنین دستگاه هایی در بسیاری از برنامه های کاربردی رخ می دهد. دو روش را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم که اساس کار آنها اصلاح و یا تغییر بلوک (1و1) به گونه ای است که دستگاه حاصل ساده تر حل گردد. بخش اصلی کار بر روی لاگرانژ افزوده متمرکز است، روشی که بلوک (1و1) را بدون تغییر اندازه دستگاه اصلاح می کند. موضوع های انتخاب پارامتر مناسب، طیف ماتریس ضرایب دستگاه خطی و عدد شرطی مورد بحث قرار خواهند گرفت، و برخی مشاهدات تحلیلی نیز ارایه می گردند. یک روش تهی سازی بلوک (1و1) نیز معرفی می گردد. نتایج آزمایش های عددی، جهت اعتبار بخشی بیشتر به تحلیل های صورت گرفته ارایه خواهند شد.

در این پایان نامه از توابع مولتی کوادریک برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده شده است. تابع گاوسی بعنوان یک ابزار در حل معادلات دیفرانسیل جزئی به کار گرفته شده است. کارایی روش با مثال هایی عددی نشان داده شده است.

روش تفاضلات متناهی یکی از پرکاربرد ترین روشهای حل مسائل مقادیر مرزی است. در این پایان نامه به حل دو مساله مقدار مرزی منفرد که کاربردهایی در فیزیولوژی دارند پرداخته شده است. همگرایی روش مذکئر نیز به تفصیل بیان و اثبات گردیده است

در این پایان نامه ابتدا به مطالعه یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، تحت عنوان روش هم محلی درونیابی نقطه شعاعی می پردازیم. سپس به منظور مقابله با مشکلات ناشی از شرایط مرزی نویمن از درونیابی هرمیتی استفاده می شود. در این روش تابع درونیاب بر حسب مقادیر تابع مجهول در نقاط درونیابی بیان می شود. از مزیت های این روش این است که تابع درونیاب بر حسب تابع شکل بیان می شود که خواص تابع دلتای کرونکر را دارند. به علاوه برای هر نقطه یک زیر دامنه تحت عنوان دامنه موثر در نظر گرفته می شود و فقط نقاط مربوط به این زیر دامنه در مورد نقطه مذکور تاثیر داده می شوند و سایر نقاط دامنه نادیده گرفته می شوند. در نتیجه ماتریس درونیابی به یک ماتریس تنک تبدیل می شود که باعث کاهش بد وضعی و افزایش کارایی محاسباتی می شود. نتایج عددی حاصل از بکار گیری روش هم محلی درونیابی نقطه شعاعی، روش درونیابی هرمیتی و روش هم محلی نامتقارن کانسا موید افزایش سرعت و کاهش خطای دو روش اول نسبت به روش هم محلی نامتقارن کانسا می باشد که توضیحی برای کارایی روش هم محلی درونیابی نقطه شعاعی و روش درونیابی نقطه شعاعی هرمیتی می باشد.

در این پایان نامه، ابتدا بطور مختصر به معرفی موجکها و نحوه ساخت آنها اشاره می کنیم. موجک ها ی اسپلاین مکعبی هرمیتی و نحوه ی ساختن آن ها را با استفاده از آنالیز چند ریزه سازی ارائه می کنیم. سپس با روش گالرکین و هم مکانی و استفاده از پایه های موجک اسپلاین مکعبی هرمیتی مسائل اشتورم- لیوویل، معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم و دیفرانسیل غیرخطی با شرایط مرزی متناوب را به یک دستگاه تبدیل می کنیم. نتایج عددی حاصل از اعمال این روش را بر روی چند مثال می آوریم.

در این پایان نامه حل عددی معادله موج خطی با شرایط اولیه به عنوان مثال اصلی معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی خطی مرتبه دوم در نظر گرفته می شود. ابتدا روش عنصر متناهی برای نیم گسسته سازی مکانی بکار برده می شود. سپس، گسسته سازی زمانی با روش تفاضل متناهی کرانک- نیکلسون و نیومارک در نظر گرفته می شود. ...

در این پایان نامه، روش موجک سینوسی و کسینوسی برای حل معادله ی انتگرو-دیفرانسیل فردهلم غیر خطی نوع دوم از مرتبه کسری با شرایط اولیه ارائه شده است که مشتق این معادله از نوع مشتق کسری کاپوتو می باشد. یک مجموعه از موجک های سینوسی و کسینوسی به عنوان پایه هایی برای تقریب جواب در نظر گرفته شده است. رابطه بین توابع بلاک-پالس و موجک سینوسی و کسینوسی به دست آورده می شود، سپس توابع موجود در معادله به صورت ترکیب خطی از توابع پایه ای موجک سینوسی و کسینوسی در نظر گرفته می شود، در نهایت یک دستگاه معادلات غیر خطی حاصل خواهد شد که با به دست آوردن ضرایب مجهول این دستگاه نتیجه تعیین می شود. مشخصه اصلی این روش استفاده از ماتریس عملیاتی انتگرال به منظور حذف عملگر انتگرال در معادله می باشد. در پایان نتایج عددی حاصل از این روش از لحاظ میزان دقت ارائه شده است‎.

در این پایان نامه، ابتدا مفهوم آنالیز چندریزه سازی ارائه می شود. همچنین قضایای مربوط به آنالیز چندریزه سازی به همراه اثبات آنها آورده می شود در ادامه ماتریس های عملیاتی این پایه ها را به دست می آوریم. در ادامه با استفاده از این پایه ها و ماتریس های عملیاتی به تقریب معادلات دیفرانسیل تابعی وابسته به زمان می پردازیم. سرانجام مرتبه دقت و نتایج حاصل را روی دو مثال به دست آورده و با روش های دیگر از نظر دقت و حجم محاسبات مقایسه می کنیم.

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه تاثیر روش های پیش بهبود از نوع SIMPLE بر حل دستگاه های معادلات خطی است که در فاز دوم فرآیند حل عددی معادلات دیفرانسیل تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، یعنی فاز خطی سازی، ایجاد می گردند. در این پایان نامه ضمن معرفی معادلات دیفرانسیل تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، به دو فاز موجود در روش های عددی حل این گونه معادلات یعنی فازهای گسسته سازی و خطی سازی اشاره خواهد شد. سپس روش تکراری نیوتن مورد بحث قرار خواهد گرفت تا به عنوان روش انتخابی در جهت حل دستگاه معادلات غیرخطی، حاصل از فاز گسسته سازی، عهده دار فاز خطی سازی گردد. در هر تکرار روش نیوتن لازم است تا یک دستگاه معادلات خطی حل گردد. ماتریس ضرایب اینگونه دستگاه های خطی عمدتا بد وضع هستند لذا بهره گیری از ایده های پیش بهبودسازی امری اجتناب ناپذیر و ضروری است و از این رو قسمت اصلی پایان نامه به معرفی روش های تکراری حل دستگاه های معادلات خطی و روش های پیش بهبودساز از نوع SIMPLE و SIMPLER و ترکیب آنها با روش GCR اختصاص داده شده است. کدهای MATLAB مربوط به آزمایش های عددی در داخل توابعی از یک نرم افزار تخصصی حل معادلات تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، یعنی ،IFISS پیاده سازی و اجرا گردیده اند که همگی افزایش کارایی حاصل از بکارگیری ایده های پیش بهبودسازی بر روی روش GCR با اسامی GCR-SIMPLE و GCR-SIMPLER را تایید می کنند.

معادله کلاین گوردن و کلاین گوردن زاخارف معادلات موج خطی و غیرخطی می باشند که در این پایان نامه با استفاده از روشهای تفاضلات متناهی به حل آنها می پردازیم.

در این پایان نامه، ابتدا به مدل بندی دو مسئله ی فیزیکی، الاستو-پلاستیک و اخترفیزیک خواهیم پرداخت. معادله ی الاستو-پلاستیک یک معادله ی ناپایدار غیرخطی است که دارای نقطه ای نامنفرد می باشد و معادله ی دوم که به معادله ی لین-امدن معروف است، یک معادله دیفرانسیل معمولی روی بازه ی نامتناهی می باشد. سپس پایه های سینک به همراه خواص آن معرفی می شوند. در ادامه با استفاده از پایه های سینک و با روش سینک-گالرکین به حل دو مسئله ی الاستو-پلاستیک و اخترفیزیک خواهیم پرداخت و نتایج عددی حاصل را با روش های دیگر مقایسه می کنیم

در این پایان نامه یک معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل هذلولوی با هسته ی از نوع مثبت‎،‎ با شرایط اولیه و مرزی‎،‎ در نظر گرفته شده است‎.‎ مسائلی از این قبیل‎،‎ به عنوان مثال‎،‎ در مدلسازی چسبنده-کشسان و نظریه ی کشسان خطی استفاده می شوند. از آنجا که معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل مورد مطالعه از نوع هذلولوی می باشد‎،‎ حل تقریبی مساله به روش عناصر متناهی و آنالیز جواب تقریبی آن مشابه با معادله ی موج می باشد‎.‎ در این پایان نامه ابتدا به حل تقریبی معادله ی موج به روش عناصر متناهی‎،‎ در متغیر مکان‎،‎ پرداخته و تخمین های خطای پیشین را برای جواب تقریبی آن و مشتق های زمانی و مکانی آن‎،‎ با روش‎ ‎ انرژی‎،‎ بدست می آوریم‎.‎ سپس روش ‎عناصر متناهی را برای تقریب معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل‎،‎ در متغیر مکان‎،‎ بکار می بریم‎.‎ پایداری مساله ی پیوسته و نیم گسسته را اثبات نموده و سپس تخمین های خطای پیشین از مرتبه ی بهینه را می یابیم‎.‎ در نهایت برای بهبود همواری تابع جواب در تخمین خطای پیشین با نرم ‎$L_2$‎ روشی را ارائه می دهیم.

در این پایان نامه‎،‎ روش جدیدی تحت عنوان روش گالرکین موجک دابیشز برای حل معادلات تعادلی جمعیت ارایه می دهیم و یک مجموعه ازموجک های متعامد یکه‎‎ که توسط خانم دابیشز معرفی شده را به عنوان پایه هایی برای تقریب جواب در نظر می گیریم‎.‎ سپس‎،‎ فرمول هایی ‎‎ جهت محاسبه دقیق انتگرال های روی بازه های متناهی که به صورت حاصل ضرب موجک های دابیشز یا مشتقات ‎‎ یا انتگرال آنها می باشند را ارایه می کنیم‎.‎ سرانجام‎،‎ معادلات تعادلی جمعیت را با استفاده از روش گالرکین-موجک ‎دابیشزحل می کنیم و نتایج حاصل از این روش را از لحاظ دقت و همواری جواب با نتایج بدست آمده از روش های دیگری‎ مثل روش بسط سری های بلاک-پالس و روش باقیمانده ی وزنی و روش چندجمله ای های متعامد لژاندر مقایسه‎‎ می کنیم‎.

در این پایان نامه‎،‎ یک مجموعه ی جدید از توابع قطعه ای پیوسته به نام توابع متعامد مثلثی را که از توابع معروف بلاک-پالس به دست می آیند‎،‎ معرفی کرده و به بررسی خواص آن ها می پردازیم و این خواص را با خواص توابع بلاک -‎پالس مقایسه می کنیم‎.‎ همچنین ماتریس های عملیاتی انتگرال این توابع را تولید می کنیم‎.‎ سپس با استفاده از توابع متعامد مثلثی به حل مستقیم مسائل حساب تغییرات می پردازیم و فرمول هایی را تولید می کنیم که برای محاسبه انتگرال های موجود در مسائل حساب تغییراتی به کار می رود و این مسائل را به یک معادله جبری تبدیل می کنند‎.‎ در پایان چند مثال از مسائل حساب تغییرات را آورده و آن ها را توسط توابع متعامد مثلثی حل می کنیم که کارایی و دقت تقریب این روش را در حل مسائل حساب تغییراتی نشان می دهد

در این پایان نامه، دسته ای از روش های عددی برای حل مسائل حساب تغییرات بر پایه روش های شبه طیفی کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شود. مزیت روش غیرکلاسیک آن است که تابع های وزن اختیاری برای تولید چندجمله ایهای متعامد استفاده می شوند و دامنه ای بزرگتری برای نقاط هم مکانی و ماتریس های مشتق را ممکن می سازند. به وسیله مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ی یک ماتریس سه قطری متناظر چندجمله ا یهای متعامد، گره ها (نقاط هم مکانی) و وزن های انتگرال گیری عددی گاوس ارائه می شوند. روش های شبه طیفی نیز به صورت دو دسته کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شوند. همچنین در ادامه نتایج عددی برای حل چند مسئله حساب تغییرات آورده شده و به طور ضمنی مورد مقایسه قرار گرفته اند.

در این پایان نامه با استفاده از روش عناصر متناهی به حل معادلات سهموی از جمله معادله گرما و معادله انتگرال-دیفرانسیل سهموی می پردازیم. معادلاتی را مطرح کرده و تغییر فرموله می دهیم، سپس جواب مسئله ی تغییر یافته را با استفاده از توابع پیوسته قطعه ای خطی که روی مثلث بندی دامنه مسئله تعریف می شوند تقریب می زنیم. همچنین پایداری و تخمین خطا را برای جواب مسائل مطرح شده، مورد بررسی قرار می دهیم

یکی از موثرترین روشهای بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی روش جوابهای اساسی می باشد. در این روش بدون شبکه مرزی، هیچگونه گسسته سازی بر روی دامنه و مرز انجام نمی گیرد و فقط با استفاده از تعدادی نقطه پراکنده معادله دیفرانسیل مورد نظر حل می شود. برای جلوگیری از منفرد شدن جوابهای اساسی، یک مرز مجازی اطراف مرز فیزیکی در نظر گرفته می شود. و نقاط چشمه و هم محلی به ترتیب بر روی مرز مجازی و فیزیکی انتخاب می شوند. برای حل معادلات پواسون، جواب به دو قسمت همگن و جواب خصوصی تقسیم می شود. جواب قسمت همگن با روش جوابهای اساسی و جواب خصوصی با استفاده از توابع پایه ای شعاعی بدست می آیند. در یک معادله پواسون پیچیده تعیین جواب اساسی، صریح و اکثرا مشکل و یا حتی غیر ممکن است. در این پایان نامه برای رفع این مشکل از روش معادله قیاسی استفاده می شود.

کاربرد درونیابی هرمیتی در روش های بدون شبکه برای حل معادلات غیرخطی پواسون

حل معادلات انتگرال با استفاده از موجک های دابیشز

در این پایان نامه با استفاده از الگوریتم تخصیص بهینه برای یک ریلکسیسن به ارائه یک الگوریتم بهینه برای حل انواع مسائل پوشش مجموعه می پردازیم سپس به بررسی هزینه محاسباتی و مقایسه این روش می پردازیم.

حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از پایه های قطعه ای پیوسته

حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از چند جمله های متعامد

در این پایان نامه یک رویکرد جدیدی به مسئله فروشنده دوره گرد که یک مسئله بسیار مهم در بحث بهینه سازی است می پردازیم. مسئله فروشنده دوره گرد با انواع روشها از جمله روشهای بهینه حل شده است و روش شبکه عصبی یک از روشهای مهم برای حل این خانواده از مسائل است. و ...

حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از روش بدون شبکه و اثر نقاط سازگار بر روی آن

تکنیک شبه خطی در روش جوابهای اساسی برای حل معادلات غیر خطی پواسون

روشهای تولید نقاط سازگار بر اساس تکنیک توزیع یکسان عمل می کنند برای سازگار کردن شبکه ایجاد شده در یک ناحیه برای مسائلی همچون توابع, حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و غیره بکار می رود. در این روشها هدف این است که دامنه مسئله به گونه ای تقسیم بندی شود که یک تابع وزن که به شکلی به خطای مسئله وابسته است روی دامنه بطور یکسان تقسیم بندی شود.