محمد علی اردلانی

فضاهای هاردی، که فضاهایی خاص از توابع هولومورفیک روی گوی یکه در صفحه ی مختلط هستند، از جمله فضای توابع مورد بحث در آنالیز تابعی بوده و مانند فضاهای باناخ، از جهات مختلفی مانند خواص مجموعه ای، ساختار توپولوژیکی، ساختار هندسی و مفاهیم همگرایی و امثال آن مورد توجه هستند. فضای هاردی وزن دار حالت تعمیم یافته ی فضاهای هاردی بوده که در اینجا روی گوی یکه مورد بحث قرار می گیرند. برد عددی برای عملگر خطی کراندار T روی یک فضای هیلبرت مختلط H عبارت است تصویر کره ی واحد ۱ = ∥x ∥تحت ضرب داخلی که به شکل W(T) := { ⟨T x, x⟩ : x ∈ H, ∥x∥ = ۱ } معرفی می شود. این مجموعه که مانند طیف یک عملگر زیرمجموعه ای از صفحه مختلط است، دارای ویژگی های هندسی خاصی مرتبط با آن عملگر می باشد. این مجموعه را می توان در خواص اصلی با طیف عملگر مقایسه نمود که در اینجا خواص و کاربرد برد عددی و طیف، روی ضرب داخلی مطالعه خواهد شد. از خواص اساسی برد عددی، تحدب است که توسط قضیه ی مشهور توپلیتز-هاسدورف بیان می شود و ثابت می کند که برد عددی همبند است. همچنین به مطالعه و بررسی رفتار برد عددی، طیف، طیف نقطه ای عملگرهای کراندار و عملگرهای فشرده روی فضاهای هاردی وزن دار می پردازیم. اگر در برد عددی، حاصل ضرب را به حاصل ضرب روی فضاهای هاردی وزن دار تعمیم دهیم، ویژگی های متفاوتی خواهد داشت. هدف ما مفهوم برد عددی تحت حاصل ضرب نیمه داخلی به معنای لومر است که ویژگی های خاص خود را دارد. لومر [27] نشان داد که فضای حاصل ضرب نیمه داخلی یک فضای خطی √ است و هر فضای خطی نرم دار مانند (∥ · ∥ ,X (حداقل یک حاصل ضرب نرم دار با نرم [x ,x[ نیمه داخلی [· ,·] دارد که در شـرایطی خــاص صدق می کند. در نهـایت، با اثبـات یک گـزاره ی اساسی (قضیه ی3 . 3 . 1) که بیان می کند گوی یکه ی فضاهای هاردی وزن دار هموار می باشد نشان داده خواهد شد که یک و تنها یک حاصل ضرب نیمه داخلی به معنای لومر (رابطه ی 3 . 27)، روی فضاهای هاردی وزن دار وجود دارد که در رابطه ی (2 . 5) صدق می کند. به عنوان چند نتیجه برخی خواص این برد عددی مورد بحث قرار خواهد گرفت. از جمله نشان داده خواهد شد که فضای هاردی وزن دار، یک فضای به طور یکنواخت محدب است

د ر این پایان نامه مفهوم جدید شبه-میانگین پذیری مشخصه ای چپ در جبرهای باناخ معرفی می شود. در واقع مفهوم میانگین پذیری را بر اساس وجود ‎$ ‎\varphi‎ $‎ ‎ -قطر تقریبی چپ نه لزوماً کراندار بررسی می کنیم. ‎ در ادامه به بررسی رابطه بین شبه-میانگین پذیری مشخصه ای چپ ‎$ A $‎ ، ‎$ B $‎ ‎ و ‎$ \ker ‎\theta‎ $‎‎ ‎ در حالی که ‎$ ‎\theta ‎:A‎\longrightarrow ‎B‎ $‎ ‎ یک همریختی پیوسته بین دو جبر باناخ ‎$ A $‎ ‎ و ‎$ B $‎‎ ‎ باشد می پردازیم. همچنین شبه-میانگین پذیری چپ دوگان دوم و ضرب تانسوری تصویری جبرهای باناخ را مورد مطالعه قرار می دهیم. نهایتاً شبه-میانگین پذیری مشخصه ای چپ برخی از جبرهای باناخ مرتبط با یک گروه موضعاً فشرده ‎$ G $‎ ‎ را بررسی می کنیم.

بررسی خواص عملگرهای خطی روی فضاهای باناخ یک زمینه جالب برای تحقیق در آنالیز ریاضی است. ما در این پایان نامه ابتدا نتایجی مانند مشخصه سازی کران داری، فردهولم بودن و برد بسته بودن عملگر خطی ضرب نقطه به نقطه روی فضاهای باناخ وزن دار از توابع تحلیلی روی قرص یکه را به فضاهای باناخ وزن دار از توابع تحلیلی روی نیم صفحه بالا انتقال می دهیم. بعد از آن همین انتقال نتایج را در مورد مشخصه سازی کران داری عملگر خطی ضربگر روی فضاهای باناخ وزن دار از توابع تحلیلی روی قرص به همین فضاها روی نیم صفحه بالا انجام می دهیم. در خاتمه یک عملگر خطی تئوپلیتز را این بار روی یک فضای باناخ متفاوت یعنی فضای باناخ از توابع تحلیلی متناوب روی نیم صفحه بالا که یک فضای وزن دار نیست و در واقع یک فضای هیلبرت است معرفی کرده و کران داری آن را مشخصه سازی می کنیم

در این پایان نامه ما به مشخصه سازی کرانداری، فشردگی و فشردگی ضعیف عملگراهای ولترای V_{g} بین فضاهای باناخ وزندار مختلف (C)H_{v}^{\infty} و H_{w}^{\infty}(C) می پردازییم. برای رسیدن به این هدف، ابتدا عملگرهای ضربی بین این فضاها را مورد مطالع قرار می دهیم.

فرض کنید v یک وزن شعاعی روی دیسک یکه یا صفحه مختلط باشد. در این پایان نامه نشان داده خواهد شد که برای هر تابع تحلیلی f0 در فضای باناخ H_{v}^{\infty}، فاصله f_{0} تا زیر فضای {0}^H_{v} از H_{v}^{\infty} در نقطه ایی مانند تابع g_0 در {0}^H_{v} بدست می آید. علاوه براین، اثبات ساده و مستقیم از فرمول فاصله f تا H_{v}^{0} که پرفکت انجام داده است، ارائه می کنیم. همچنین نتایجی مربوط به فضاهای بلوخ وزندار بدست می آید.

در این رساله، همان طور که عنوان آن بیان می کند، نتایج جدیدی در حوزه نقاط ثابت مشترک در نظریه نقطه ثابت بحث خواهد شد. در ابتدا به مسائلی از لائو 2010 و سعیدی 2018 در مورد وجود نقاط ثابت برای نیم گروه های برگشت پذیر خواهیم پرداخت. پاسخ های جزئی به این مسائل خواهیم داد و در ادامه به مطالعه وجود توبرهای غیرانبساطی در بستار نقطه ای نیمگروه خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه نشان داده میشود که نگاشت های منظم مجانبی یکنواخت نابدیهی و پوشا که روی یک فضای متریک عمل کنند وجود ندارد و همچنین برخی نتایج مرتبط با این واقعیت بررسی می شود.

در این پایان نامه به مطالعه ی طیف عملگری و برد عددی عملگرهای روی فضاهای هیلبرت می پردازیم. نتایج به دست آمده در مورد رابطه ی برد عددی ترکیب عملگرها با طیف ترکیب عملگرها را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی قابها در فضاهای هیلبرت می پردازیم. در این راستا رابطه بین قابها و پایه های زیس را مورد بررسی قرار میدهیم.

قاب های زیرفضاها یکی از موضوعات مهم در نظریه قاب هاست که بر اساس زیرفضاهای یک فضای هیلبرت همراه با وزن ها تعریف شده اند. در این پایان نامه پس از بیان خواص و مقدمات اولیه نظریه قاب ها، این مفاهیم و نتایج را برای قاب های زیرفضاها از یک فضای هیلبرت H بررسی می کنیم همچنین عملگرهای تجزیه، ترکیب و عملگر قاب زیرفضاها را یافته و انواع قاب های زیرفضاها مانند قاب های پارسوال، تنگ و مینیمال را مطالعه می کنیم. در ادامه تجزیه همانی و تجزیه ریس از قاب های زیرفضا را بیان نموده و نهایتاً برخی ازساختارهای خاص از قاب های زیرفضا، قاب ها و قاب های ریس را می آوریم.

در این پایان نامه به بررسی برخی از ویژگی های نقطه ثابت مشترک برای یک نیمگروه نیم توپولوژیک از نگاشت های نامبسوط که روی یک زیر مجموعه محدب از فضای هیلبرت عمل می کنند می پردازیم. برای این منظور از مفهوم نقاط جاذب مشترک استفاده خواهد شد.

در این پایان نامه، به مطالعه فضاهای BMO و همچنین فضاهای VMO و ارتباطی که این دو فضا با هم دارند، می پردازیم. در ادامه با تعریف نرم مناسب روی فضای BMO نشان می دهیم با این نرم کامل بوده و نیز یک فضای پایای کانونی است. همچنین در مورد ضرایب تیلور بسط اینچنین توابعی بحث خواهیم نمود.

پایان نامه را با بررسی برخی از خواص عملگرهای ترکیب وزنی کراندار، فشرده و شاتن بین فضاهای برگمن وزنی شروع می کنیم. تابع کراندار و پیوسته v از گوی یکه به مجموعه اعداد نا منفی را یک وزن می نامیم. همچنین یک تبدیل خطی کراندار روی یک فضای هیلبرت را که دارای نرم شاتن p ام کراندار باشد را یک عملگر از کلاس شاتن گوییم. در این پایان نامه به مطالعه ی شرط لازم وکافی برای اینکه عملگر ترکیب وزنی،بین فضاهای برگمن وزنی،کراندار و فشرده شود ، می پردازیم. به علاوه شرط لازم وکافی برای اینکه یک عملگر ترکیب وزنی،فشرده از کلاس شاتن شود را بررسی خواهیم کرد.

در این پایان نامه، مفاهیم σ انقباض پذیزی تقریبی و σ میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ را معرفی و مورد مطاله فرار می دهیم که در آن σ یک همریختی پیوسته روی جبر باناخ است و ارتباط بین σ انقباض پذیزی تقریبی و انقباض پذیزی تقریبی و همچنین رابطه بین σ میانگین پذیری تقریبی و میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ را بررسی خواهیم کرد. در ادامه، به مطاله رابطه مفاهیمی مانند σ شبه یکدار، σ اساسی و σ قطری تقریبی با σ میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ را بررسی می پردازیم.

در این پایان نامه، عملگرهای ترکیب وزنی روی فضاهای برگمن وزنی نامتناهی البعد را در نظر می گیریم و بررسی خواهیم کرد که تحت چه شرایطی این عملگرها از پایین کراندار یا با برد بسته خواهند بود.

در این پایان نامه فضاهای وزنی روی گوی یکه یک فضای باناخ را معرفی می کنیم. سپس وزن متناظر با یک وزن را تعریف و خواص آن را مورد بررسی قرار می دهیم. در پایان نیز عملگر ترکیب وزنی بین این فضاها را مطالع کرده وچند محک مختلف برای پیوستگی این عملگرها ارائه می دهیم.

در این پایان نامه، قضایایی از نمایشی پیوسته از یک نیم گروه نیم توپولوژیکی S به صورت نگاشت هایی غیرانبساطی روی یک فضای کامل CAT(0) که به عبارتی فضای هادامارد می باشد را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا مفهومی از مدارهای تقریبی نیم گروه غیرانبساطی و همگرایی تقریبا قوی و ضعیف در فضای باناخ را معرفی می کنیم. سپس همگرایی مدار های تقریبی کراندار از نیم گروه های نیم توپولوژیک برگشت پذیر راست از نگاشت های مجابنا غیرانبساطی در فضای متریک را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی برخی خواص فضای هاردی می پردازیم. سپس نیم گروههای عملگرهای ترکیب در فضای هاردی القا شده توسط نیم گروههای عملگرهای تحلیلی در نیم صفحه ی بالایی صفحه ی مختلط را معرفی ونرم آنها را محاسبه می کنیم. نهایتا رابطه ای بدست می آورییم بین مولدهای بی نهایت کوچک نیم گروه های عملگرهای تحلیلی و مولدهای بی نهایت کوچک نیم گروه های ترکیب وقتی که نیم گروه های مذکور پیوسته ی قوی هستند.

ما در این پایان نامه روابط بین برد عددی اصلی و برد عددی فضایی را با برد عددی جدید مطرح شده به نام برد عددی فضایی تقریبی مطالعه می کنیم. به عنوان مثال نشان می دهیم برد عددی اصلی همیشه با غلاف محدب برد عددی فضایی تقریبی برابر است، بعلاوه شرایط لازم و کافی برای برابری برد عددی فضایی تقریبی با بستار برد عددی فضایی را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه،به بررسی فضاهای باناخ وزنی از توابع تحلیلی روی گوی یکه باز در صفحه مختلط n بعدی می پردازیم. بالاخص دو تصویر کراندار از فضای توابع اساسا کراندار و فضای توابع انتگرال پذیر به دو فضای وزنی مختلف تعریف می کنیم. سپس با استفاده از این تصویر ها فضاهای مورد نظر را به حاصل جمع های مستقیم تجزیه می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه پیوستگی عملگر های ترکیبی و نرم یک عملگر ترکیبی بین فضاهای باناخ وزنی از توابع تحلیلی تعریف شده روی گوی یکه می پردازیم، که برای یک خود نگاشت تحلیلی از گوی یکه، مقادیر یک عملگر ترکیبی متناظر با آن را اختیار می کند

در این پایان نامه به مطالعه مشخصه سازی عملگرهای ترکیب وزنی روی فضاهای باناخ وزنی از توابع هولومورفیک از نوع H^\infty که ایزومتری هستند می پردازیم

در این پایان نامه، پاسخی مثبت به حالت خاصی از مساله آیوپتیت خواهیم داد که خود ریشه در مساله کاپلانسکی دارد و به صورت زیر مطرح شده است : "آیا یک نگاشت خطی حافظ طیف دو سویی بین دو جبر باناخ نیم ساده یکدار لزوما یک همریختی جردن است؟" پاسخی مثبت به این سوال را، در قالبی به دست می آوریم که یکی از این دو جبر باناخ، دلخواه است و دیگری شامل مجموعه ای از ماتریس های دو در دو است، که با (M_{2}(A نمایش می دهیم، که A یک جبر باناخ نیم ساده یکدار است. در واقع ثابت می کنیم که اگر A و B دو جبر باناخ نیم ساده یکدار باشند و phi : M_{2}(A)------ B\ یک نگاشت خطی حافظ طیف دو سویی باشد ، آنگاه phi\ یک همریختی جردن است.

آراگون و جفری در 15 ویژگی های گوناگون منظمی متری زیر دیفرانسیل یک تابع محدب شبه پیوسته پایین عمل کننده بر روی یک فضای هیلبرت، بر حسب جملاتی از شرط رشد مجذوری را مشخصه سازی کرده اند. همچنین موردوخویچ و نیها در 4 مشخصه سازی منظمی قوی را به فضاهای باناخ توسیع داده اند. در این پایان نامه، توسیع مشخصه سازی های زیر منظمی متری و قوی انجام شده در 16 را به فضاهای باناخ مطالعه می کنیم. به علاوه، برخی استلزام های مستقیم مشخصه سازی های همگرایی الگوریتم نقطه پراکسیمال را نشان می دهیم و مشخصه سازی های زیر منظمی متری و ویژگی های سکون نگاشت های جواب معادلات تعمیم یافته پارامتری را ارایه می کنیم.

فرض کنید w یک تابع وزن بورل اندازه پذیر روی گروه موضعاً فشرده G باشد، در این پایان نامه نتایج اصلی از جبر گروهی وزندار ( L1(G;w و جبر اندازه وزندار (Mb(G;w شامل همانی تقریبی، منظم بودن و حاصلضرب های فشرده روی این دو را ارائه می کنیم.

در سال 1972 آلفسن و افراس برای اولین بار مفهوم M-ایده آل را برای فضاهای باناخ تعریف کردند. در این پایان نامه ابتدا به بررسی مفهوم M-ایده آل می پردازیم وسپس مثال هایی از M-ایده آل ها در فضاهای باناخ مختلف را بررسی می کنیم. در ادامه کار محک هایی را برای شناسایی M-ایده آل ها معرفی می کنیم. تمرکز اصلی ما روی این مطلب قرار دارد که چه نگاشت هایی حافظ M-ایده آل هستند و مشاهده می شود که یکریختی های حافظ M-ایده آل لزوما طولپا نیستند. قضیه باناخ-استون مطب دیگری است که مورد مطالعه قرار می دهیم. این قضیه بیان می کند که اگر بین فضای توابع پیوسته دو فضای هاوسدورف فشرده مانندX وY یکریختی طولپا وجود داشته باشد آنگاه X وY با یکدیگر همانریختند. ما با استفاده از نگاشت های حافظ M-ایده آل صورتی از قضیه باناخ-استون را بیان می کنیم که در آن یکریختی بین فضای توابع پیوسته لزوما طولپا نیست.

پایان نامه را بررسی برخی از خواص فضای( Hp(Uشروع می کنیم. سپس با استفاده از نیم گروه های پیوسته قوی که تعریف می کنیم، عملگرهای C(عملگر چزارو) و τ روی ( Hp(U تعریف کرده، سپس به محاسبه نرم و طیف این عملگرها می پردازیم. نهایتا" خواص مرزی این عملگرها را مورد بررسی قرار می دهیم.

این پایان نامه در مورد دوگان قضیه ارگودیک میانگین برای نگاشتهایی است که بر اساس تبدیل موبیوس و ساختار نیم گروه حاصل شده است. در مجموع به بررسی دوگان قضیه ارگودیک میانگین یک نیم گروه پیوسته غیرخطی از خودنگاشتهای غیرانبساطی روی گوی واحد باز در فضای هیلبرت مختلط پرداخته می شود که دارای متر هاپربولیک است.

در این پایان نامه به بررسی (σ,τ)-میانگین پذیری از جبرهای باناخ می پردازیم که در آن τ و σ دو همومورفیسم هستند. همچنین به بررسی رابطه بین (σ,τ)-میانگین پذیری از جبرهای باناخ و میانگین پذیری از جبرهای باناخ می پردازیم.

در این پایان نامه می خواهیم فضای باناخی پیدا کنیم که هر دو خاصیت شور و داوگات را داشته باشد. برای این منظور یک فضای باناخ بدون خاصیت رادون نیکودیم را در نظر می گیریم، ثابت می کنیم که یک اصلاح جزئی در ساختار بورگین-روزنتال چنین فضای باناخی ،یک فضای باناخ با خاصیت شور و داوگات را بوجود می آورد. با استفاده از این مطلب می توان به برخی سوالات پاسخ داد. در حالت خاص می بینیم که خاصیت داوگات تحت فراضرب ها پایدار نمی ماند.

در سال 1963 داوگات رابطه مهم زیر را ثابت کرد: هر عملگرفشرده روی [C[0,1 درمعادله داوگات صدق می کند. پس از آن نتیجه فوق موردتوجه بسیاری ازمحققان قرار گرفت و خاصیت داوگات به نحو زیر تعمیم یافت. گوییم فضاهای باناخ X دارای خاصیت داوگات نسبت به یک خانواده از عملگر های خطی روی X است، هر گاه معادله داوگات برای هر عملگر در این خانواده برقرار باشد. در این پایان نامه ابتدا به ذکر تعاریف ومقدمات لازم می پردازییم، سپس مثالی از فضاهای باناخی که دارای خاصیت داوگات نیستندارائه می دهیم. نهایتا به بررسی این موضوع می پردازییم که برای یک رده از فضاهای که به فرم مجموع مستقیم یک فضای تفکیک پذیر و [C[0,1 هستندمعادله داوگات برای عملگرهایی که یک کپی از [C[0,1را ثابت نگه نمی دارند، برقرار است.

این پایان نامه با رویکرد شناساندن و گسترش اعضایی بنام قاب ها، که آنها را تعمیم پایه های یک فضای هیلبرت می دانیم، شکل می گیرد. عملگرهای تجزیه، ترکیب، و قاب را به عنوان ابزارهای توانمندی در شناسایی این اعضا معرفی می کنیم. جمع قاب های یک فضای هیلبرت را مورد مطالعه و بررسی قرار داده و شرایطی را بیان می کنیم که تحت آنها جمع چند قاب یک فضا، خود قابی برای آن فضا باشد. بالاخص، جمع قاب های گابور و جمع دنباله های B-بسل را بررسی خواهیم کرد. همچنین به مبحث قاب های زیرفضایی می پردازیم و نشان می دهیم که قاب های زیرفضایی در واقع تحدید تعریف قاب در فضاهای بزرگتر به زیرفضاهای یک فضا می باشند.

در این پایان نامه قضیه دوگان مزدوج رباست برای مسائل برنامه ریزی محدب, در حالت داده های غیر قطعی مطابق با بهینه یابی رباست بررسی شده است. در ابتدا بر قراری دوگان قوی رباست را بین مسئله برنامه ریزی محدب پارامتری شده اولیه در حالت داده های غیر قطعی و دوگان مزدوج آن تحت شرایطی مورد مطالعه قرار می گیرد. همچنین بررسی می شود که دوگان قوی رباست همواره برای مسائل برنامه ریزی محدب جزئا متناهی تحت داده های غیر قطعی بر قرار است و معادل بهینه دوگان آن یک مسئله متناهی بعد خواهد بود.

این پایان نامه نگرشی بر مجموعه نقاط ثابت مشترک هر خانواده جابجایی از خود نگاشت تحلیلی درB^{\infty}_H دارد و در نهایت به این نتیجه می رسد که این مجموعه در صورت غیر تهی بودن یک تو کشی تحلیلی ازB^{\infty}_H است.

یکی از موضوعات مورد توجه در ارتباط با جبرها مفهوم مشتق پذیری می باشد. جدیدا به کلاسهای متفاوت این مشتقات مانند مشتق جردن و مشتق در نقاط ثابت پرداخته شده است. هر نگاشت مشتق، مشتق جردن و همچنین مشتق پذیر در هر نقطه است. یکی از علا قمندی های ریاضی دانان بخصوص در شاخه های جبر و انالیز بررسی عکس این مطلب است. در این پایان نامه هدف پرداختن به نگاشتهای مشتق پذیر در نقاط ثابت و بررسی شرایطی که به مشتقات جردن و نگاشتهای مشتق تبدیل می شوند، می باشد.