کمال شانظری

در این پایان‌نامه، ابتدا دستگاه معادلات جبری-انتگرال با هسته منفرد ضعیف را معرفی می‌کنیم اندیس کنترل‌پذیری و ‎$\nu$-‎همواری را برای این دستگاه تعریف کرده و سپس روش عددی انتگرال ضربی را بر پایه چندجمله‌ای‌های متعامد ژاکوبی برای حل دستگاه معادلات جبری-انتگرال منفرد ضعیف به کار می‌بریم و همچنین با ارائه قضیه‌ هایی، آنالیز همگرایی روش مذکور را انجام می‌دهیم و درپایان با ارائه دو مثال عددی، سازگاری نتایج عددی را با تحلیل تئوری نشان خواهیم داد.

در این پایان‌‌نامه، روش دروﻧﯿﺎﺑﯽ ﻧﻘﻄﻪی ﺷﻌﺎﻋﯽ ﻃﯿﻔﯽ ﻣﺤﻠﯽ در ﺣﻞ ﻋﺪدی ﻣﻌﺎدﻻت ﺷﺒﻪ ﺳﻬﻤﻮی دو ﺑﻌﺪی ﺣﻞ ﺑﺴﯿﺎری از ﺳﻮاﻻت در ﻋﻠﻮم و ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﺑﻌﺪ از ﻣﺪل ﺳﺎزی ﺑﻪ ﯾﮏ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﺣﻞ اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﻪ ﺷﮑﻞ ﻋﺪدی از اﻫﻤﯿﺖ وﯾﮋه ای ﺑﺮﺧﻮردار ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ. در اﯾﻦ ﭘﺎﯾﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﭘﺎﯾﺪاری و ﻫﻤﮕﺮاﯾﯽ روش دروﻧﯿﺎﺑﯽ ﻧﻘﻄﻪی ﺷﻌﺎﻋﯽ ﻃﯿﻔﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺤﻠﯽ ﺑﺮ روی ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺷﺒﻪ ﺳﻬﻤﻮی دو ﺑﻌﺪی ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻋﺪدی ﺑﺮای ﻧﺸﺎن دادن ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎی ﻧﻈﺮی اراﺋﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ

در سه دهه اخیر روش‌های بدون شبکه نقش قابل ملاحظه‌ای را در حل عددی معادلات دیفرانسیل ایفا کرده‌اند. در این پایان‌نامه از دو روش بدون شبکه توابع پایه شعاعی و روش ترکیبی توابع پایه شعاعی -تفاضلات متناهی برای حل معادله کورتِوِخ-دِوریس-برخرس ‎ استفاده شده ‌است. همچنین توابع شکلی را از دو روش درونیابی نقطه‌ای توابع چندجمله‌ای و درونیابی نقطه‌ای توابع پایه شعاعی به‌دست می‌آوریم. در پایان با بررسی پنج مثال عددی دقت و کارایی روش‌های پیشنهادی را نشان خواهیم داد.

در این پایان نامه از روش جواب اساسی برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی از نوع پواسون استفاده می کنیم. روش جواب اساسی یک روش موثر برای حل معادله دیفرانسیل همگن است. در حالتی که معادله دیفرانسیل ناهمگن باشد بوسیله یک جواب خصوصی ابتدا معادله به یک معادله همگن تیدیل شده سپس معادله حاصل بوسبله روش جواب اساسی حل می شود. ‎ یافتن‎ یک جواب خصوصی در بیشتر موارد ناممکن است ، لذا نیازمند یافتن تقریبی از جواب خصوصی هستیم. توابع پایه شعاعی یک ابزار قوی برای تقریب جواب خصوصی می باشد. در این تحقیق از روش درونیابی نقطه ای شعاعی برای تقریب جواب خصوصی معادلات ناهمگن استفاده نموده و روش جواب اساسی برای جل این معادلات را یکار می بریم.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه محلی برای حل معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی درجه دوم در حالت دو بعد به کار برده می شود. همچنین روش تفاضل کرانک-نیکلسون برای گسسته سازی مشتق زمانی به کار گرفته خواهد شد. سپس از توابع پایه شعاعی محلی برای تقریب هم مکانی استفاده خواهد شد که در این روش مجموعه کوچکی از نقاط گرهی در اطراف یک گره مرکزی انتخاب می شود. در روش محلی کل دامنه به زیر دامنه هایی با یک گره مرکزی تقسیم خواهد شد که این روش منجر به تولید یک دستگاه کوچک خواهد شد که کارایی محاسباتی را افزایش خواهد داد‎.\\‎ در انتها چند مثال به همراه روش هایی برای حل عددی معادله هذلولوی با شرایط اولیه مناسب و شرایط مرزی دیریکله، ارائه می شود. توابع پایه شعاعی استفاده شده از نوع مولتی کوادریک می باشد. هدف از این پایان نامه بررسی کارایی روش های بدون شبکه مبتنی بر روش هم نشینی بر پایه توابع پایه ای شعاعی برای حل معادلات مشتقات جزئی می باشد.

نظریه و کاربرد معادلات انتگرال موضوعی مهم در ریاضیات کاربردی است. معادلات انتگرال به عنوان مدل های ریاضی برای بسیاری از موقعیت های مختلففیزیکی مورد استفاده قرار می گیرد و لذا حل این معادلات از اهمیت بسیاری برخوردار است. در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه مبتنی بر توابع پایه شعاعی برای حل برخی معادلات انتگرالی نوع دوم بکار می بریم. بنابراین، در ابتدا به بررسی و معرفی انواع معادلات انتگرال می پردازیم. سپسبه معرفی روش های بدون شبکه و توابع پایه شعاعی می پردازیم و روش درونیابی نقطه شعاعی طیفی را در حل معادلات انتگرالی نوع دوم یک بعدی و دو بعدی معرفی می کنیم. در نهایت، با ارائه چند مثال عددی، کارایی و دقت بالای روش مورد نظر را نشان می دهیم.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه گالرکین براساس توابع پایه شعاعی برای مسائل با شرایط مرزی دیریکله ارائه شده است.برای حل مساله چون توابع پایه شعاعی به طور کلی در شرایط مرزی دیریکله صدق نمی کتتد.ابتدا شرایط مرزی دیریکله را توسط شرایط مرزی رابین تقریب می زنیم.وسپس مساله متناظر را بوسیله روش بدون شبکه گالرکین حل کرده و جوابی تقریبی بدست می آوریم.وسپس برآوردی از خطای روش را با استفاده ازتوابع پایه شعاعی حساب می کنیم. در پایان برای نشان دادن کارائی روش، یک مثال را بررسی نموده و کرانی برای خطای آنها بدست می آوریم

روش جواب اساسی، یک روش بدون شبکه بندی مرزی موثر برای حل معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی است. در این پایان نامه ابتدا روش جواب اساسی را برای حل معادلات پواسون تشریح می کنیم. برای حل این معادلات، جواب به صورت مجموع جواب خصوصی و جواب همگن بیان می شود که جواب معادله همگن به شکل یک ترکیب خطی از جواب های اساسی بیان می شود. در ادامه روش جواب اساسی را برای حل معادلات وابسته زمانی از نوع سهموی بکار می بریم. به این منظور ابتدا از روش تفاضلات متناهی برای تقریب مشتق زمانی استفاده می کنیم. سپس معادله حاصل را به شکل یک معادله هلمهولتز فرض نموده و از جواب اساسی عملگر دیفرانسیل این معادله برای حل مسئله استفاده می کنیم. همچنین حالتی که معادله دیفرانسیل ناهمگن است از روش جواب خصوصی برای تبدیل آن به یک معادله همگن استفاده می کنیم.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه بر اساس استفاده از توابع پایه شعاعی برای حل معادله غیرخطی بنجامین-برگرز به کارگرفته می شود. برای گسسته سازی زمان از یک طرح تفاضل متناهی پیشرو استفاده می شود و پایداری و همگرایی معادله گسسته زمانی نشان داده می شود. همچنین، برای گسسته سازی متغیر مکانی از روش توابع شعاعی چندربعی و روش کانسا استفاده می شود. در نهایت برای بررسی عملکرد روش پیشنهادی معادله دیفرانسیل مورد نظر در چند دامنه آزمایش می شود.

در این رساله، ابتدا معادله ی پسرو-پیشروی گرما را معرفی می کنیم. سپس هر کدام از روش های تابع شعاعی و المان مرزی را به طور مفصل توضیح خواهیم داد. و در ادامه روش تفاضل متناهی برای حالت یک بعدی، روش ترکیبی تفاضل متناهی و پایه شعاعی را برای حالت های یک بعدی و دوبعدی و روش تقابل دوگان را برای حالت دوبعدی روی معادله ی پسرو-پیشرو پیاده سازی می کنیم. همگرایی و پایداری روش تفاضل متناهی را برای حالت یک بعدی و همگرایی و پایداری زمانی را برای بقیه روش ها مورد بررسی قرار خواهیم داد در پایان با انجام چند کار تجربی، عملکرد روشهای پیشنهادی را ارزیابی خواهیم نمود.

در این پایان نامه روش جدیدی برای جواب های اساسی از معادلات انتشار نا همگن وابسته به زمان مطالعه می شود. در روش پیشنهادی جواب مساله ناهمگن مستقیما به صورت یک ترکیب خطی از جواب اساسی عملگر انتشار با ضرایب وابسته به زمان بیان می شود. با انتخاب مناسب نقاط چشمه و نقاط میدان در گامهای زمانی، حل مساله تا رسیدن به جواب های حالت پایدار یا زمان نهایی ادامه می یابد. این روش کاملا بدون شبکه است و به هیچ نوعی به تقسیم بندی دامنه یا مرز و اتصالات گره ای نیاز ندارد. لذا می توان آ ن را به راحتی برای مسائل انتشار با ابعاد بالاتر در نواحی نامنظم استفاده کرد.

در این پایان نامه، روش گالرکین مبتنی بر استفاده از توابع شعاعی برای حل معادلات جزیی وابسته به زمان مانند معادلات سهموی به کارگرفته می شود. مزیت اصلی این روش عدم نیاز به مش بندی در فرایند حل مساله و غنای نظری است. فرم ضعیف مساله جهت پیاده سازی روش بدست خواهد آمد که نیازمند انتگرال گیری روی دامنه ی جواب است. غنای نظری روش و اطمینان از همگرایی جواب تقریب شده نسبت به روشهای مبتنی بر فرم قوی همچون روش درونیابی نقطه شعاعی طیفی فاقد شبکه، سبب ترجیح آن بر روش های فرم قوی است. جوابهای عددی برای برخی از مسایل خطی و غیرخطی بدست خواهد آمد. سپس، همگرایی و قضایای خطای مرتبط با این مسایل بررسی می شود. روشهای گالرکین سراسری دارای دو مشکل عمده هستند. اولا،ٌ در حل عددی مسایل چند بعدی از انتگرال گیری عددی جهت محاسبه ی انتگرالها، که در فرم ضعیف ظاهر می شوند، استفاده می شود که سبب تحمیل هزینه های محاسباتی و ایجاد خطایی مضاعف برای روش گالرکین می گردد. ثانیا،ٌ چگال بودن و بد وضعی ماتریس ضرایب، بدست آوردن جواب عددی را چالش برانگیز خواهد کرد. با انتخاب توابع شعاعی مناسب سبب رفع دو مشکل عمده ی مذکور خواهیم شد. با انتخاب مناسبی از توابع شعاعی فرم بسته ای از انتگرالهای موجود در فرم ضعیف را بدست خواهیم آورد. بدون نیاز به تخمین انتگرالها و با در دست بودن فرم بسته، سبب سرعت در محاسبات و افزایش دقت خواهیم شد. علاوه بر آن، با انتخاب مناسب توابع شعاعی چگال بودن و بد وضعی ماتریس ضرایب را بهبود خواهیم کرد.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه بر اساس اسپلاین صفحه نازک جهت حل عددی معادله ی گرمای دو بعدی پیشرو- پسرو ارائه شده است. برای حل مساله، دامنه ی فیزیکی به دو زیر دامنه تقسیم می شود که هر کدام از آنها به یک مساله پیشرو یا پسرو تبدیل می شود. زیر مساله های حاصل بوسیله یک روش بدون شبکه تابع پایه شعاعی برای بعد مکانی و یک طرح تفاضل متناهی برای متغیر زمان حل می شوند. سپس برای رسیدن به دقت مطلوب از یک فرایند تکراری استفاده خواهیم کرد. به علاوه برای به روز رسانی جواب های مرز مجازی ترکیبی از روش درونیابی و هم محلی را به کار می گیریم. در پایان برای نشان دادن کارایی روش، یک مثال عددی را بررسی نموده و برخی جنبه های محاسباتی را مورد نوجه قرار خواهیم داد.

در این پایان نامه از روش عناصر مرزی تقابل دوگان برای حل عددی معادله گرما پیشرو- پسرو در دو بعد استفاده کرده ایم، این روش برای متغیر مکانی استفاده شده است. و برای این منظور از جواب اساس معادله لاپلاس معادله استفاده شده است. دامنه مسئله به دو زیر دامنه تقسیم شده در نتیجه معادله به دو معادله استاندارد پیشرو-پسرو تقسیم شده است. زیر مسئله ها با استفاده از یک فرض اولیه مورد بررسی قرار می گیرند و همچنین یک مرز مجازی برای مسئله در نظر گرفته شده است، که حل مسئله را با یک تقریب اولیه شروع کرده ایم و با استفاده از یک روش تکراری جواب ها را در هر مرحله به دست می آوریم همچنین برای گسسته سازی متغیر 1 استفاده کرده ایم و مسئله را تازمانی که به جوابی FDM زمانی از روش تفاضلات متناهی یا دقیق برسیم ادامه می دهیم.

یکی از روش های موثر برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی، روشجواب اساسی است. روش جواب اساسی، یکروشبدون شبکه مرزی استکه تنها به مجموعه ای از نقاط پراکنده بر روی مرز نیاز دارد و این ویژگی کارایی محاسباتی را به میزان قابل ملاحظه ای افزایشمی دهد. در شرایطی که معادله دیفرانسیل از نوع پواسن باشد معمولاً از جواب اساسی یک عملگر دیفرانسیل ساده تر، مانند لاپلاسین استفاده شده و به وسیله یک جواب خصوصی، به شکل همگن تبدیل و برای حل آن از روش جواب اساسی استفاده می شود. در روش جواب اساسی، جواب معادله همگن به شکل یک ترکیب خطی از جواب اساسی معادله دیفرانسیل همگن بیان می شود و به وسیله روش های عددی مختلف، ضرایب ترکیب خطی فوق تعیین می گردد. برای تقریب روش جواب خصوصی (MLS) روش های مختلفی وجود دارد. یکی از این روش ها، روش کمترین مربعات متحرک است. در روش کمترین مربعات متحرک ضرایب مجهول بسط به صورت تابعی از مکان در نظر گرفته شده و چنان تعیین می شوند که تابع شکل، ضمن حرکت بر دامنه های موضعی، پیوستگی خود را حفظ می کند. در این پایان نامه، روش جواب اساسی برای حل معادلات دیفرانسیل مورد مطالعه قرار گرفته و برای حل معادلات غیرهمگن از تقریب جواب خصوصی توسط روش کمترین مربعات متحرک استفاده می شود.

دراین‎ پایان نامه ، یک روش بدون شبکه فرم ضعیف- قوی بر پایه ترکیب دو روش فرم قوی وفرم ضعیف مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا فرمول بندی روش های بدون شبکه بر اساس فرم ضعیف و فرم قوی را معرفی می کنیم، سپس مزایا ومعایب هر روش را بررسی می کنیم. روش فرم ضعیف- قوی برای انتگرال گیری به شبکه های زمینه نیاز ندارد واین کارآیی محاسباتی این روش را افزایش می دهد در این روش فرم قوی برای گره های داخلی و فرم ضعیف محلی برای گره های نزدیک یا روی مرز مشتق به کار می رود؛ در نتیجه روش حاصل یک روش پایدار برای مسائل با شرایط مرزی مشتق خواهد بود.

در این پایان نامه، روش عنصر متناهی گالرکین ناپیوسته قطعه ای ثابت DG(0) را برای گسسته سازی زمانی معادلات انتگرو دیفرانسیل سهموی و هذلولوی به کار می بریم. در ابتدا روش گالرکین ناپیوسته قطعه ای ثابت را برای یافتن جواب عددی مسئله ی مدل به کار می بریم و سپس تخمین خطای پیشین و پایداری را بررسی می نماییم. در نهایت با چند آزمایش عددی نتایج نظری بدست آمده را بررسی می نماییم.

در این پایان نامه، روش بدون شبکه بر اساس توابع پایه شعاعی از نوع هرمیتی، برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو معمولی و معادله دیفرانسیل جزیی از نوع هلمهولتز مطالعه شده است. ابتدا مفاهیم و تعاریف اولیه مربوط به روشهای بدون شبکه مرور شده، سپس نحوه پیاده سازی روش، روی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تشریح گردیده است. نتایج تحقیقات نشان می دهد، دقت روشهای بدون شبکه برای مسائل با شرایط مرزی دیریکله بالا می باشد اما در برخورد با معادلاتی که دارای شرایط مرزی مشتق هستند، کاهش می یابد. بنابراین در ادامه بحث، روش های خاصی که مشکل مذکور را رفع می نمایند، مورد بررسی قرار گرفته و به همین منظور ، برتری روش درونیابی هرمیتی و دقت و کارایی بالای آن ، هم به صورت تئوری و هم به صورت عددی بررسی شده است. ‎

دراین‎ پایان نامه ، به معرفی یک روش بدون شبکه خطوط برای حل عددی معادله کورتوگ-دی وریز‎ می پردازیم. برتری این روش جدید نسبت به روش های سنتی بدون شبکه خطوط ، که از تقریب مشتق فضائی با استفاده از روش تفاضل متناهی‎‎‎ یا روش عناصر متناهی‎ استفاده می کردند ، عدم نیاز به به شبکه بندی دامنه ، و استفاده از توابع پایه شعاعی برای تقریب جواب در مجموعه نقاط پراکنده شده در دامنه مساله می باشد. مقایسه میان تعدادی از توابع پایه شعاعی در مثال های عددی آورده شده است. مثال های عددی نشان دهنده دقت و پیاده سازی آسان این روش جدید و کارآمدی آن برای معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی وابسته به زمان می باشد

در این پایان نامه، روش جواب اساسی، که یک روش بدون شبکه ی مرزی است، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی معرفی می شود. ابتدا این روش برای حل معادلات مستقل زمانی همگن به کار می رود. سپس برای حل معادلات مستقل زمانی نا همگن، جواب به دو قسمت همگن و جواب خصوصی تقسیم می شود. جواب قسمت همگن با روش جواب های اساسی و جواب خصوصی با استفاده از توابع پایه ای شعاعی تقریب زده می شود. در نهایت، روش جواب های اساسی برای حل معادلات همگن و ناهمگن وابسته ی زمانی مورد بررسی قرار می گیرد و با استفاده از توابع پایه ای شعاعی جواب خصوصی تقریب زده می شود.

در این پایان نامه روش جواب اساسی ترفتز، که یک روش بدون شبکه ی مرزی محسوب می شود، مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا روش ترفتز را معرفی می کنیم. چون این روش مستقیماً برای معادلات غیر همگن قابل استفاده نیست، لذا با استفاده از تکنیک جواب خصوصی، معادلات دیفرانسیل جزئی غیر همگن را حل می کنیم. سپس به کمک روش جواب اساسی و تکنیک جواب خصوصی معادلات دیفرانسیل همگن و غیر همگن مستقل زمانی را مورد بررسی قرار می دهیم و به کمک توابع پایه شعاعی جواب خصوصی را تقریب می زنیم. در ادامه، تعمیم روش جواب اساسی را برای حل معادلات همگن و غیر همگن وابسته ی زمانی بررسی می کنیم و به کمک توابع ویژه جواب خصوصی را تقریب می زنیم

در این پایان نامه، روش هم محلی بر اساس درون یابی نقطه ای پایه ای شعاعی که یکی از انواع روش های بدون شبکه محسوب می شود مورد بررسی قرار می گیرد. نوع تابع پایه ای شعاعی استفاده شده در این مطالعه، اسپلاین صفحه نازک(TPS) و مولتی کوادریک(MQ) می باشد. در حالتی که شرایط مرزی از نوع نویمن بر مساله حاکم باشد از درون یابی توابع شعاعی با چندجمله ای های افزوده و درون یابی هرمیتی استفاده می شود. روش مذکور برای معادلات از نوع پواسون خطی و غیرخطی به کار خواهد رفت. نتایج عددی نشان می دهد که روش درون یابی نقطه ای پایه شعاعی با استفاده از تابع TPS و چندجمله ای های افزوده ی درجه دوم به یک دقت بالا منجر می شود. همچنین با به کارگیری درون یابی هرمیتی می توان کارایی روش و دقت جواب را بهبود بخشید.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه مبتنی بر تقریب کمترین مربعات متحرک مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا به معرفی این تقریب می پردازیم . سپس ، آنالیز خطا‎ را بررسی کرده و کاربرد آن را در حل معادلات دیفرانسیل جزئی شرح می دهیم. در ادامه به روش های موضعی مبتنی بر این تقریب که به "روش های بدون شبکه پترو-گالرکین موضعی" موسوم هستند ، می پردازیم. در این روش، معادله دیفرانسیل به فرم ضعیف تبدیل می شود و از تقریب کمترین مربعات برای توابع کوششی و از توابع تست متفاوت با توابع کوششی برای حل معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم. همچنین ، به بسط این تکنیک پرداخته و روشی بدون شبکه در مکان و زمان برای حل معادله ی انتقال گرما مطرح می کنیم

در این پایان نامه، یک معادله ی انتگرو-دیفرانسیل هذلولوی مرتبه ی کسری با یک هسته ی پیچش به طور ضعیف منفرد، با شرایط اولیه و شرایط مرزی در نظر گرفته شده است. ابتدا معادله با شرایط مرزی دیریکله و نویمن همگن، به فرم یک مساله کوشی انتزاعی تبدیل می شود و خوش وضعی مساله در قالب نظریه ی نیم گروه های خطی اثبات می شود. سپس، از یک روش گالرکین پیوسته (cG(1)/cG(1، که عملگرهای کلی بر روی دامنه محاسباتی مساله را به کار می برد برای حل عددی معادله ی انتگرو-دیفرانسیل استفاده می شود. در ادامه، پایداری روش عددی را با استفاده از معرفی تابعی کمکی اثبات نموده و تخمین های خطای پیشین از مرتبه ی بهینه را با استفاده از روش انرژی بدست می آوریم. در نهایت، با مثال عددی صحت آنالیز خطای این روش را برای مساله ی یک بعدی نشان می دهیم.

انتگرال توابع با نوسان زیاد دارای کاربردهای زیادی در حل معادلات دیفرانسیل نوسانی، معادلات انتگرال صوتی و غیره می باشند اما محاسبه این انتگرال ها مشکل است‎. در این پایان نامه به ارائه انواع روش های عددی برای تقریب انتگرال توابع با نوسان زیاد می پردازیم، که دقت این روش ها با افزایش نوسان، افزایش می یابد. در ابتدا روش بسط مجانبی را که نقطه عطفی برای معرفی سایر روش ها است معرفی می کنیم. از جمله روش های دیگر، روش فیلون است که به محاسبه گشتاورها نیاز دارد. روش لِوین، که بر خلاف روش فیلون به محاسبه گشتاورها احتیاج ندارد ولی دقت آن از روش فیلون کم تر است. در ادامه روش گام کاهشی را معرفی می کنیم که بر پایه قاعده انتگرال گیری گاوس- لاگر است و به انتگرال توابع نوسانی روی بازه نیمه متناهی گسترش داده می شود.

در این پایان نامه از یک روش بدون شبکه تحت عنوان روش جواب اساسی برای حل معادلات دیفرانسیل بیضوی استفاده می شود. ‎ این روش به طور مستقیم برای حل معادلات همگن دو و سه بعدی مورد استفاده قرار می گیرد‎.‎ برای حل معادلات پواسون ترکیبی از این روش و روش جواب خصوصی به کار گرفته می شود‎.‎ با داشتن یک جواب خصوصی که لزوما‎ً‎ در شرایط مرزی صدق نمی کند می توان معادله را به یک معادله همگن با شرایط مرزی تغییر یافته تبدیل کرد‎.‎ در این پایان نامه دو روش متفاوت برای یافتن جواب خصوصی مورد بررسی قرار می گیرد‎.‎ در روش اول جواب خصوصی توسط توابع پایه ی شعاعی به دست می آید‎.‎ در روش دیگر محاسبه جواب خصوصی به وسیله پتانسیل نیوتن انجام می گیرد‎.‎ در هر دو روش پس از یافتن جواب خصوصی‎،‎ معادله همگن حاصل به کمک روش جواب اساسی حل می شود‎.‎ همچنین تعمیم هر دو روش به حالت سه بعدی ارائه می شود و به وسیله نتایج عددی خطا و زمان اجرا در دو روش مورد مقایسه قرار می گیرد‎.

در این پایان نامه به مطالعه ی یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی دو بعدی و سه بعدی تحت عنوان روش درون یابی نقطه شعاعی می پردازیم. در این روش تابع درون یاب برحسب مقادیر تابع مجهول در نقاط درون یابی بیان می شود. از مزیت های این روش این است که تابع درون یاب بر حسب توابع شکل بیان می شود که خواص تابع دلتای کرونکر را دارند. برای هر نقطه یک زیر دامنه تحت عنوان دامنه موثر در نظر گرفته می شود و فقط نقاط مربوط به این زیر دامنه در مورد نقطه مذکور تاثیر داده می شود و سایر نقاط نادیده گرفته می شوند. در نتیجه ماتریس درون یابی به یک ماتریس تنک تبدیل می شود که این باعث کاهش بدوضعی و افزایش کارایی محاسباتی می شود.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی موج خطی تصادفی با نوفه ی جمعی در قالب نظریه نیم گروه ها مورد مطالعه قرار گرفته است. برای این منظور، از روش عنصر متناهی و اویلر پسرو به ترتیب برای نیم گسسته سازی مکانی و زمانی استفاده شده است. ابتدا، تخمین های خطای بهینه با کمترین همواری لازم برای مساله ی غیر تصادفی نیم گسسته به دست آمده اند و در اثبات تخمین های همگرایی قوی برای مساله ی تصادفی استفاده شده اند. سپس، این روش با روش های گالرکین پیوسته (cG(1)/cG(1 و تفاضل متناهی (لیپ فراگ) مقایسه شده اند. در نهایت، این نظریه ها با مثال های عددی برای مساله ی یک بعدی، در دو حالت نوفه ی سفید و نوفه ی رنگی، نشان داده شده اند. هدف اصلی در این پایان نامه، محاسبه ی مرتبه ی همگرایی قوی برای این دسته از معادلات است که می تواند به دامنه های چند بعدی و نوفه ی وابسته به مکان نیز گسترش داده شود.

در مقالات متعددی در مورد وجود جواب های انتگرالی شمول های دیفرانسیلی غیرخطی چندمقداری در فضاهای باناخ بحث شده است که همه آنها مبتنی بر گذاشتن شرایط خاصی روی نیمگروه انقباضی موجود است. در این پایان نامه مقاله ای را مورد بررسی و مطالعه قرار می دهیم که کمترین محدودیت را در مقایسه با بقیه دارد و خواص مجانبی جواب های انتگرالی (نه لزوما کراندار) معادله با استفاده از مفهوم منحنی های غیرانبساطی تقریبی بیان می شود.

اصلاح رتبه یک غیر خطی از مسئله ی مقدار ویژه متقارن نتیجه ی ارتعاشات ویژه ساختارهای مکانیکی با بارهای پیوسته کشسان و همچنین محاسبه مدهای انتشار در فیبر نوری می باشد. در این پایان نامه ابتدا وجود و یکتایی مقادیر ویژه اینگونه مسائل را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس سه الگوریتم عددی با اسامی تکرار پیکارد، تکرار نسبت رایلی غیر خطی و روش تقریب خطی متوالی (SLAM) برای محاسبه زوج ویژه ها مورد بررسی قرار خواهند گرفت. در ادامه، همگرایی عمومی روش تقریب خطی متوالی SLAM تحت برخی مفروضات اثبات خواهد شد. نتایج عددی نشان می دهند که در میان روش های بررسی شده، روش SLAM توانمندترین روش است.

در این پایان نامه ابتدا به مطالعه یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، تحت عنوان روش هم محلی درونیابی نقطه شعاعی می پردازیم. سپس به منظور مقابله با مشکلات ناشی از شرایط مرزی نویمن از درونیابی هرمیتی استفاده می شود. در این روش تابع درونیاب بر حسب مقادیر تابع مجهول در نقاط درونیابی بیان می شود. از مزیت های این روش این است که تابع درونیاب بر حسب تابع شکل بیان می شود که خواص تابع دلتای کرونکر را دارند. به علاوه برای هر نقطه یک زیر دامنه تحت عنوان دامنه موثر در نظر گرفته می شود و فقط نقاط مربوط به این زیر دامنه در مورد نقطه مذکور تاثیر داده می شوند و سایر نقاط دامنه نادیده گرفته می شوند. در نتیجه ماتریس درونیابی به یک ماتریس تنک تبدیل می شود که باعث کاهش بد وضعی و افزایش کارایی محاسباتی می شود. نتایج عددی حاصل از بکار گیری روش هم محلی درونیابی نقطه شعاعی، روش درونیابی هرمیتی و روش هم محلی نامتقارن کانسا موید افزایش سرعت و کاهش خطای دو روش اول نسبت به روش هم محلی نامتقارن کانسا می باشد که توضیحی برای کارایی روش هم محلی درونیابی نقطه شعاعی و روش درونیابی نقطه شعاعی هرمیتی می باشد.

در این پایان نامه به مطالعه روش فوق تخفیف شتابدار اصلاح شده ی متقارن (SMAOR) برای حل دستگاه معادلات خطی تنک می پردازیم. سپس ناحیه همگرایی این روش را مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج عددی حاصل از به کار گیری روش SMAOR به همراه روش هایی هم چون فوق تخفیف شتابدار (AOR) و فوق تخفیف شتابدار اصلاح شده (MAOR) موید کوچکتر بودن شعاع طیفی ماتریس تکرار روش SMAOR نسبت به شعاع های طیفی دو روش دیگر می باشند که توضیحی برای همگرایی سریع تر روش SMAOR می باشد.

در این پایان نامه روش دیفرانسیل-کوادراتور ترفتز ( DQTM) که یک روش بدون شبکه بندی بر پایه ی ترکیب روش جواب خصوصی (MPS) با روش دیفرانسیل-کوادراتور( DQM) و روش ترفتز می باشد ، برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی پواسون استفاده می شود. در این روش MPS به کار می رود تا معادلاتی هم ارز را از معادله دیفرانسیل اصلی ایجاد کند. سپس DQMبرای تقریب جواب خصوصی مورد استفاده قرار می گیرد و روش ترفتز جواب همگن را تقریب می زند. بنا بر این DQTM یک تکنیک ذاتا بدون شبکه بندی و مستقل از انتگرال گیری است. از آن جایی که در این روش برای انتخاب نقاط، انعطاف پذیری زیادی وجود دارد لذا DQTM روی دامنه های غیرمنظم نیز به خوبی کار می کند. نتایج عددی نشان می دهند که روش جدید با تعداد نقاط محدود نیز روی دامنه های منظم و غیر منظم موثر است.

در این پایان نامه‎،‎ معادله ی موج با شرایط اولیه و مرزی دیریکله در نظرگرفته شده است‎.‎ ابتدا به اختصار به حل تقریبی معادله ی بیضوی با استفاده از روش عنصر متناهی و آنالیز خطای پیشین و پسین آن اشاره می کنیم‎.‎ سپس معادله ی گرما و آنالیز خطای پسین آن را در حالت نیم گسسته ی مکانی با استفاده از تکنیک بازسازی بیضوی مورد بررسی قرار می دهیم‎.‎ در ادامه‎،‎ به تجزیه ی نیم گسسته ی مکانی با استفاده از روش عنصر متناهی‎،‎ تجزیه ی نیم گسسته ی زمانی با استفاده از روش تفاضلات متناهی و تجزیه ی کاملا‎ً‎ گسسته برای معادله ی موج می پردازیم‎.‎ در نهایت برای هر کدام از این گسسته سازی ها‎،‎ تخمین خطای پیشین و سپس تخمین خطای پسین را با دو تکنیک براساس روش انرژی بدست می آوریم‎،‎ که البته در این پایان نامه تاکید بیشتر بر تکنیک بازسازی بیضوی می باشد‎.‎

در این پایان نامه، ابتدا مفهوم آنالیز چندریزه سازی ارائه می شود. همچنین قضایای مربوط به آنالیز چندریزه سازی به همراه اثبات آنها آورده می شود در ادامه ماتریس های عملیاتی این پایه ها را به دست می آوریم. در ادامه با استفاده از این پایه ها و ماتریس های عملیاتی به تقریب معادلات دیفرانسیل تابعی وابسته به زمان می پردازیم. سرانجام مرتبه دقت و نتایج حاصل را روی دو مثال به دست آورده و با روش های دیگر از نظر دقت و حجم محاسبات مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه، دو روش بدون شبکه بندی برای حل معادله ی پخش با مشتق کسری کاپاتو نسبت به زمان ارائه شده است. در هر دو روش از تقریب تفاضل پیشرو برای گسسته کردن مشتق کسری کاپاتو استفاده می شود. در روش اول با استفاده از روش کانسا به حل معادله ی پخش کسری می پردازیم، که این روش اولین پژوهش در مورد حل این دسته از معادلات با استفاده از روش کانسا می باشد. در روش دوم بین مقادیر تابع مجهول در نقاط دلخواه و مقادیرآن در نقاط درونیابی رابطه ای را به دست می آوریم، که با استفاده از رابطه ای به دست آمده به حل معادله خواهیم پرداخت. در هر روش جواب به صورت ترکیب خطی از توابع پایه ای شعاعی در نظر گرفته می شود و با استفاده از هم محلی در نقاط مرزی و دامنه ای به حل معادله می پردازیم. در نهایت دستگاه معادلاتی حاصل خواهد شد که با به دست آوردن ضرایب مجهول در هر پله ی زمانی و جایگذاری آن ها می توان مقادیر تابع مجهول را در هر نقطه ی دلخواه و در هر گام زمانی تعیین کرد.

روش عناصر مرزی، به عنوان یک تکنیک عددی قوی برای حل بسیاری از معادلات دیفرانسیل جزئی به کار می رود. اما وجود جملات ناهمگن در بسیاری از معادلات، سبب به وجود آمدن انتگرال های دامنه ای در فرمول روش عناصر مرزی می شود که کارایی تکنیک را تا حد زیادی کاهش می دهد. برای مقابله با این مشکل، تکنیک های بسیاری پیشنهاد شده است. در این پایان نامه، به منظور حل مساله ی ناپایدار انتقال حرارت، از روش عناصر مرزی استفاده می شود که وجود جمله ی ناهمگن وابسته به زمان، باعث می شود یک انتگرال دامنه ای در معادله ظاهر شود. برای تبدیل این معادله به یک معادله ی انتگرال مرزی، از دو روش استفاده شده است. در روش اول، ابتدا تابع مجهول وابسته به زمان توسط دنباله ای از توابع پایه ی شعاعی، درونیابی می گردد و برای به دست آوردن معادله ی انتگرال مرزی، از جواب اساسی معادله ی لاپلاس که یک تابع مستقل از زمان است، استفاده می شود. سپس جواب معادله ی انتگرال حاصل، با گسسته سازی مرز ناحیه و صرفاً با انجام انتگرال گیری مکانی به دست می آید. در روش دوم، از جواب اساسی وابسته ی زمانی که کل معادله ی انتقال حرارت، از جمله بخش وابسته به زمان را تحت پوشش قرار می دهد، استفاده می شود. بنابراین معادله ی انتگرال نتیجه شده، شامل انتگرال های مختلط مکانی و زمانی است که برای حل آن از گسسته سازی مرز و متغیر زمانی استفاده می گردد.

در این پایان نامه‎،‎ روش جدیدی تحت عنوان روش گالرکین موجک دابیشز برای حل معادلات تعادلی جمعیت ارایه می دهیم و یک مجموعه ازموجک های متعامد یکه‎‎ که توسط خانم دابیشز معرفی شده را به عنوان پایه هایی برای تقریب جواب در نظر می گیریم‎.‎ سپس‎،‎ فرمول هایی ‎‎ جهت محاسبه دقیق انتگرال های روی بازه های متناهی که به صورت حاصل ضرب موجک های دابیشز یا مشتقات ‎‎ یا انتگرال آنها می باشند را ارایه می کنیم‎.‎ سرانجام‎،‎ معادلات تعادلی جمعیت را با استفاده از روش گالرکین-موجک ‎دابیشزحل می کنیم و نتایج حاصل از این روش را از لحاظ دقت و همواری جواب با نتایج بدست آمده از روش های دیگری‎ مثل روش بسط سری های بلاک-پالس و روش باقیمانده ی وزنی و روش چندجمله ای های متعامد لژاندر مقایسه‎‎ می کنیم‎.

مطالعه معادله موج و حل عددی آن با روشهای تفاضل عددی و عناصر متناهی

یکی از موثرترین روشهای بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی روش جوابهای اساسی می باشد. در این روش بدون شبکه مرزی، هیچگونه گسسته سازی بر روی دامنه و مرز انجام نمی گیرد و فقط با استفاده از تعدادی نقطه پراکنده معادله دیفرانسیل مورد نظر حل می شود. برای جلوگیری از منفرد شدن جوابهای اساسی، یک مرز مجازی اطراف مرز فیزیکی در نظر گرفته می شود. و نقاط چشمه و هم محلی به ترتیب بر روی مرز مجازی و فیزیکی انتخاب می شوند. برای حل معادلات پواسون، جواب به دو قسمت همگن و جواب خصوصی تقسیم می شود. جواب قسمت همگن با روش جوابهای اساسی و جواب خصوصی با استفاده از توابع پایه ای شعاعی بدست می آیند. در یک معادله پواسون پیچیده تعیین جواب اساسی، صریح و اکثرا مشکل و یا حتی غیر ممکن است. در این پایان نامه برای رفع این مشکل از روش معادله قیاسی استفاده می شود.

مطالعه روش های بدون شبکه برای حل عددی معادلات وابسته زمانی

در این پایان نامه نقش حساب دقت متناهی و غیر نرمالی ماتریس های ضرائب و ماتریس های تکرار در واگرا شدن و یا رسیدن به جواب غلط در حین بکارگیری روش های تکراری پایه ای تحت فرمول $x^{(0)}, x^{(k+1)}=Tx^{(k)}+c$ که برای حل دستگاه $Ax=b$ بکار گرفته می شوند بررسی خواهد شد. به علاوه تاثیر پیش شرطی سازی بر روی ماتریس های اولیه به منظور کاهش عددشرطی ماتریس ضرایب و همچنین کاهش شعاع طیفی ماتریس تکرار در بهبود و توانمندسازی روش های تکراری پایه ای بررسی خواهد شد

یکی از روش های موثر برای حل معادلات پواسون روش جوابهای اساسی است. این روش یک روش بدون شبکه است که در آن هیچ تقسیم بندی روی مرز و دامنه صورت نمی گیرد. در این روش یک مرز مجازی اطراف مرز فیزیکی در نظر گرفته می شود و نقاط چشمه روی این مرز انتخاب می شوند. به این صورت از انطباق نقاط چشمه و نقاط میدانی و به دنبال آن از منفرد بودن جواب اساسی جلوگیری می شود. برای حل معادلات پواسون با استفاده از روش جوابهای اساسی، ابتدا تقریبی از جواب خصوصی مسئله به دست آورده می شود، سپس جواب قسمت همگن با استفاده از روش جوابهای اساسی برای معادلات همگن ، تعیین می گردد. برای تقریب جواب خصوصی در این روش از توابع شعاعی پایه استفاده می شود که این توابع با افزایش تعداد نقاط درونیابی، منجر به تولید ماتریس درونیاب بد وضع می گردند. برای اجتناب از بد وضعی، در این پایان نامه روش تجزیه دامنه هم پوش پیشنهاد شده است. این روش با تقسیم بندی دامنه به چند زیر دامنه باعث کاهش مرتبه ماتریس درونیاب شده و در نتیجه عدد شرطی آنرا کاهش می دهد. ابتدا روش جواب اساسی برای حل معادله در هر زیر دامنه بکار گرفته می شود و سپس با جمع آوری نتایج در زیر دامنه ها جواب معادله در کل دامنه به دست می آید.

کاربرد درونیابی هرمیتی در روش های بدون شبکه برای حل معادلات غیرخطی پواسون

حل معادلات انتگرال با استفاده از موجک های دابیشز

یک الگوریتم سریع جدید بر اساس روش تصویر گرادیان کارمارکار

حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از چند جمله های متعامد

حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از پایه های قطعه ای پیوسته

یک رویکرد جدید برای مسئله مسیریابی تورنمنت با استفاده از برنامه ریزی محدودیت

حل عددی معادلات انتگرال با استفاده از روش بدون شبکه و اثر نقاط سازگار بر روی آن

تکنیک شبه خطی در روش جوابهای اساسی برای حل معادلات غیر خطی پواسون

روشهای تولید نقاط سازگار بر اساس تکنیک توزیع یکسان عمل می کنند برای سازگار کردن شبکه ایجاد شده در یک ناحیه برای مسائلی همچون توابع, حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و غیره بکار می رود. در این روشها هدف این است که دامنه مسئله به گونه ای تقسیم بندی شود که یک تابع وزن که به شکلی به خطای مسئله وابسته است روی دامنه بطور یکسان تقسیم بندی شود.

بهینه سازی شبکه ها و فرمهای آزاد شده آن

یک الگوریتم ژنتیک هیبرید جدید برای مساله تخصیص درجه دو

روش تجزیه دامنه بطور متداخل برای بهبود روش تقابل دوگان در روش عناصر مرزی

تولید شبکه های سه بعدی سازشگر و کاربرد آنها در حل معادلات دیفرانسیل جزئی

بهینه سازی کولونی مورچه و کاربرد آن در حل مساله جدول زمانبندی

یک الگوریتم ژنتیک هیبرید جدید برای مساله کوله بشتی چند محدودیتی

کاربرد تجزیه دامنه در روش عناصر مرزی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی

حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی بوسیله توابع شعاعی پایه

الگوریتم های موازی برای سیستم های ماتریس سه قطری

استراتژیهای محورگیری در روش سیمپلکس