فردین ساعد پناه

در این پایان نامه مسائل مقدار ویژه مربعی با ماتریس تعدیل کننده قوی مورد مطالعه قرار می گیرد. برای این کار ضمن مرور مفاهیم و قضایای اساسی مورد نیاز روش های مبتنی بر چهار گام مقیاس بندی، خطی سازی، حل مسئله خطی سازی شده و بازیابی زوج ویژه های راست و چپ را مطالعه و باهم مقایسه می کنیم. تمرکز اصلی بر روی روش مقیاس بندی شبه-تروپیکال و ترکیب آن با انتخاب نوع خطی سازی متناسب است طوری که عامل رشد عدد حالت در خطی سازی و همچنین عامل رشد در خطای پسرو زوج ویژه های راست و چپ بازیابی شده هر دو از مرتبه یک بمانند. آزمایش های عددی عملکرد قابل مقایسه و گاها بهتر روش نسبت به الگوریتم های مشابه برای حل مسائل مدنظر را تایید می کنند.

دراین‎ پایان نامه ، یک روش بدون شبکه فرم ضعیف- قوی بر پایه ترکیب دو روش فرم قوی وفرم ضعیف مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا فرمول بندی روش های بدون شبکه بر اساس فرم ضعیف و فرم قوی را معرفی می کنیم، سپس مزایا ومعایب هر روش را بررسی می کنیم. روش فرم ضعیف- قوی برای انتگرال گیری به شبکه های زمینه نیاز ندارد واین کارآیی محاسباتی این روش را افزایش می دهد در این روش فرم قوی برای گره های داخلی و فرم ضعیف محلی برای گره های نزدیک یا روی مرز مشتق به کار می رود؛ در نتیجه روش حاصل یک روش پایدار برای مسائل با شرایط مرزی مشتق خواهد بود.

در این پایان ‎نامه، حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی خطی یک بعدی با استفاده از روش هم محلی اسپلاین درجه ی دوم مورد مطالعه قرار می گیرد. روش های جدیدی برای حل معادلات سهموی خطی یک بعدی توسعه داده می شوند. این روش ها ترکیبی از روش هم محلی اسپلاین درجه ی دوم برای گسسته سازی مکانی ، و یک روش کلاسیک تفاضلات متناهی همچون کرانک-نیکلسون برای گسسته سازی زمانی می باشند. حل دستگاه خطی سه قطری در هر گام زمانی ، از ویژگی های مهم این روش کارآمد محسوب می شود ، و در عین حال خطاهای حاصله در نقاط گرهی و میانی افراز از مرتبه چهار می باشند. برای یک مساله ی خاص ، خواص پایداری و همگرایی روش جدید تحلیل خواهند شد. نتایج عددی نیز پایداری و دقت روش ها را تایید می کنند.

در این پایان نامه، روش عنصر متناهی گالرکین ناپیوسته قطعه ای ثابت DG(0) را برای گسسته سازی زمانی معادلات انتگرو دیفرانسیل سهموی و هذلولوی به کار می بریم. در ابتدا روش گالرکین ناپیوسته قطعه ای ثابت را برای یافتن جواب عددی مسئله ی مدل به کار می بریم و سپس تخمین خطای پیشین و پایداری را بررسی می نماییم. در نهایت با چند آزمایش عددی نتایج نظری بدست آمده را بررسی می نماییم.

در این پایان نامه، روش گالرکین ناپیوسته به عنوان یک روش عنصر متناهی و یک روش تفاضل متناهی مرتبه دو (کرانک-نیکلسون) برای حل معادلات موج کسری مطالعه و خواص و تفاوت های این دو روش با هم مقایسه می گردد. ابتدا به کمک حسابان کسری خواص مهمی از مساله مورد مطالعه بررسی می گردد. سپس روش های تفاضل متناهی مرتبه دو و گالرکین ناپیوسته برای حل مساله مدل به کار می رود و پایداری روش ها اثبات می گردد. هم چنین آنالیز خطای روش های یادشده انجام می گیرد و کران خطا برای این روش ها ارائه می گردد.

در این پایان نامه به طور مختصر به معرفی موجک ها به ویژه موجک دابیشز می پردازیم. در ادامه نحوه نمایش انواع عملگرهای دیفرانسیل ‎$ \frac{d^n}{dx^n} $‎ برای ‎$ n\in \mathbb{N} $‎ را به طور صریح و دقیق با استفاده از موجک دابیشز بیان خواهیم کرد. سپس پایه های متعامد نرمال دابیشز را برای تبدیل هیلبرت بررسی می کنیم، که این نمایش روش هایی برای محاسبه عملگرهای پیچش چند بعدی را به دست می دهد. همچنین نمایش عملگرهای انتقال در پایه ی موجک دابیشز را بررسی می کنیم. در ادامه یک الگوریتم سریع با حجم محاسباتی ‎$\mathcal{O}\Big(N\log(N)\Big)$‎ را برای انواع عملگرهای مشتق و انتگرال ارائه می کنیم، که در آن ‎$ N=2^n$‎ و ‎$n$‎ وضوح نمایش موجک می باشد.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی کان-هیلیارد تصادفی با نوفه ی جمعی، معروف به معادله ی کان-هیلیارد-کوک، با روش عنصر متناهی برای نیم گسسته سازی مکانی، در قالب نظریه نیم گروهها مورد مطالعه قرار گرفته است. ابتدا تخمین همواری قوی برای معادله ی کان-هیلیارد-کوک خطی نیم گسسته با اعمال شرایطی روی عملگر کواریانس نوفه، با استفاده از تخمین خطای پیشین معادله ی غیر تصادفی (کان-هیلیارد خطی)، نشان داده می شود، که جهت بدست آوردن کران خطا برای پیچش تصادفی استفاده می گردد. سپس وجود قریب به یقین و همواری جواب معادله ی کان-هیلیارد-کوک غیر خطی روی مجموعه هایی با احتمال دلخواه نزدیک به یک ثابت می گردد. هدف اصلی این پایان نامه، اثبات تخمین خطا و همگرایی قوی روش عنصر متناهی برای حل تقریبی معادله ی کان-هیلیارد-کوک با اعمال شرایطی روی عملگر کواریانس، می باشد.

در این پایان نامه بی-اسپلاین های درجه دوم و سوم بر روی افرازهای غیریکنواخت با دقت بهینه پیاده سازی خواهند شد. ابتدا روش های هم محلی اسپلاین درجه دوم وسوم را بر روی افرازهای غیر یکنواخت تعریف کرده، سپس با ایجاد شرایط انتهایی مناسب برای این اسپلاین ها، مشتقات جواب با دقت بالا تقریب زده می شوند. در ادامه با به کارگیری این تقریب ها روش هایی با دقت بهینه بر پایه ی بی-اسپلاین درجه دوم و سوم برای حل معادلات دیفرانسیل ایجاد خواهند شد. در این تحقیق همگرایی روشهای ایجاد شده به تفصیل مورد برررسی قرار خواهد گرفت و سرانجام با انجام آزمایشهای عددی، درستی کران های خطای به دست آمده مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

در این پایان نامه روش جواب اساسی ترفتز، که یک روش بدون شبکه ی مرزی محسوب می شود، مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا روش ترفتز را معرفی می کنیم. چون این روش مستقیماً برای معادلات غیر همگن قابل استفاده نیست، لذا با استفاده از تکنیک جواب خصوصی، معادلات دیفرانسیل جزئی غیر همگن را حل می کنیم. سپس به کمک روش جواب اساسی و تکنیک جواب خصوصی معادلات دیفرانسیل همگن و غیر همگن مستقل زمانی را مورد بررسی قرار می دهیم و به کمک توابع پایه شعاعی جواب خصوصی را تقریب می زنیم. در ادامه، تعمیم روش جواب اساسی را برای حل معادلات همگن و غیر همگن وابسته ی زمانی بررسی می کنیم و به کمک توابع ویژه جواب خصوصی را تقریب می زنیم

در این پایان نامه ، ابتدا یک مسئله منظم استورم-لیوویل ‎‎کسری حل می شود . ‎‎‎‎ویژه جواب های این مسئله توابع غیرچندجمله ای به نام چندجمله ایهای کسری ژاکوبی هستند. این ویژه تابع ها نسبت به تابع وزن معادله استورم-لیوویل متعامد می باشند. با معرفی درونیاب های جدیدی به نام درونیاب های کسری لاگرانژ ، ماتریس های مشتق کسری به دست می آید و این ماتریس ها در حل معادلات دیفرانسیل کسری استفاده می شود. روش هم مکانی طیفی با دقت نمایی برای حل مسائل مستقل از زمان و وابسته به زمان شامل معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتق مرتبه کسری اجرا می شود. نتایج‎ عددی دقت نمایی مورد انتظار در روش های طیفی را تایید می کند.

در این پایان نامه، معادله ی موج همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه در نظر گرفته شده است‎.‎ ابتدا حل تقریبی معادله موج با استفاده از روش گالرکین پیوسته مطالعه شده و پایداری و تخمین خطای پیشین مورد بررسی قرار گرفته است‎،‎ سپس حل تقریبی معادله با استفاده از روش گالرکین ناپیوسته بررسی و مرتبه ی بهینه ی تخمین خطای پیشین محاسبه می شود‎.‎ در پایان تلفیقی از روش های گالرکین پیوسته و ناپیوسته را مورد مطالعه قرار داده و پایداری و همگرایی و دقت این روش اثبات می شود

در این پایان نامه، روش های عنصر متناهی گالرکین ناپیوسته ی ثابت (0)DG و قطعه ای خطی (1)DG برای گسسته سازی زمانی یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی کسری (معادله ی انتشار) مطالعه می شود. ابتدا خواص مهمی از مساله ی مورد مطالعه با استفاده از حسابان کسری بررسی می شوند. سپس روش های گالرکین ناپیوسته ی قطعه ای ثابت و قطعه ای خطی، برای حل عددی مساله ی مدل به کار رفته و پایداری و مرتبه ی همگرایی روشها اثبات می شود. اگر k ماکزیمم طول گام های زمانی غیر یکنواخت و h ماکزیمم قطر عناصر شبکه مکانی باشد، آنگاه برای 0>\alfa>-1 تحت مفروضات مناسب روی همواری جواب، یک کران خطای پیشین از مرتبه ی k+h^2 \max (1,|\ln | ) برای روش (0)DG و از مرتبه ی k^{3+2\alfa} \max (1,|\ln|)+h^2 برای روش (1)DG به دست می آید. آزمایش های عددی نشان می دهند که با صرفنظر از عامل های لگاریتمی، مرتبه ی همگرایی نظری به دست آمده برای روش (0)DG مناسب، اما برای روش (1)DG بهینه نیست.

در این پایان نامه، موجک دابیشز را معرفی کرده و نحوه ی ساخت آن را بیان می کنیم، سپس با استفاده از آنالیز چندریزه سازی، روابط دومقیاسی و الگوریتم کسکد، موجک دابیشز را که یک موجک متعامد نرمال با محمل فشرده تولید می کند، را می سازیم و انتگرال تابع مقیاس دابیشز را در نقاط صحیح و نقاط دوتایی محاسبه می کنیم. در ادامه، انتگرال حاصل ضرب تابع دلخواه با تابع مقیاس را که یک ضرب داخلی است با روش های مختلف انتگرال گیری عددی محاسبه می کنیم. همچنین انتگرال یک تابع دلخواه را با استفاده از بسط تابع به کمک موجک دابیشز با روش های یک نقطه ای، چند نقطه، چندجمله ای اصلاح شده چبی شف به دست می آوریم. با ارائه چند مثال، خطای روش ها را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، روش هم محلی بر اساس درون یابی نقطه ای پایه ای شعاعی که یکی از انواع روش های بدون شبکه محسوب می شود مورد بررسی قرار می گیرد. نوع تابع پایه ای شعاعی استفاده شده در این مطالعه، اسپلاین صفحه نازک(TPS) و مولتی کوادریک(MQ) می باشد. در حالتی که شرایط مرزی از نوع نویمن بر مساله حاکم باشد از درون یابی توابع شعاعی با چندجمله ای های افزوده و درون یابی هرمیتی استفاده می شود. روش مذکور برای معادلات از نوع پواسون خطی و غیرخطی به کار خواهد رفت. نتایج عددی نشان می دهد که روش درون یابی نقطه ای پایه شعاعی با استفاده از تابع TPS و چندجمله ای های افزوده ی درجه دوم به یک دقت بالا منجر می شود. همچنین با به کارگیری درون یابی هرمیتی می توان کارایی روش و دقت جواب را بهبود بخشید.

در این پایان نامه، یک روش آرنولدی شتاب داده شده ی تطبیقی بر اساس ضرب داخلی وزن دار برای محاسبه ی رتبه ی صفحه ای مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته و خواص آن مطالعه شده است. وزن های عددی بر اساس و منطبق با بردار مانده موجود متناظر با بردار رتبه ی صفحه ای تقریبی به گونه ای تغییر داده شده تا موجب سرعت بخشی و بهبود کارایی همگرایی گردد. نتایج عددی نشان می دهند که روش آرنولدی شتاب داده شده تطبیقی سریعتر از روش نوع-آرنولدی همگرا می شود، به ویژه وقتی عامل تعدیل به یک نزدیک است. با توجه به برتری همگرایی روش های نوع-آرنولدی به روش های قبلی همچون روش توانی و روش برونیابی مربعی، می توان اعلام کرد که روش جدید سریعتر از روش های موجود برای حل مساله رتبه ی صفحه ای همگرا می گردد.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه مبتنی بر تقریب کمترین مربعات متحرک مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا به معرفی این تقریب می پردازیم . سپس ، آنالیز خطا‎ را بررسی کرده و کاربرد آن را در حل معادلات دیفرانسیل جزئی شرح می دهیم. در ادامه به روش های موضعی مبتنی بر این تقریب که به "روش های بدون شبکه پترو-گالرکین موضعی" موسوم هستند ، می پردازیم. در این روش، معادله دیفرانسیل به فرم ضعیف تبدیل می شود و از تقریب کمترین مربعات برای توابع کوششی و از توابع تست متفاوت با توابع کوششی برای حل معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم. همچنین ، به بسط این تکنیک پرداخته و روشی بدون شبکه در مکان و زمان برای حل معادله ی انتقال گرما مطرح می کنیم

در این پایان نامه، یک معادله ی انتگرو-دیفرانسیل هذلولوی مرتبه ی کسری با یک هسته ی پیچش به طور ضعیف منفرد، با شرایط اولیه و شرایط مرزی در نظر گرفته شده است. ابتدا معادله با شرایط مرزی دیریکله و نویمن همگن، به فرم یک مساله کوشی انتزاعی تبدیل می شود و خوش وضعی مساله در قالب نظریه ی نیم گروه های خطی اثبات می شود. سپس، از یک روش گالرکین پیوسته (cG(1)/cG(1، که عملگرهای کلی بر روی دامنه محاسباتی مساله را به کار می برد برای حل عددی معادله ی انتگرو-دیفرانسیل استفاده می شود. در ادامه، پایداری روش عددی را با استفاده از معرفی تابعی کمکی اثبات نموده و تخمین های خطای پیشین از مرتبه ی بهینه را با استفاده از روش انرژی بدست می آوریم. در نهایت، با مثال عددی صحت آنالیز خطای این روش را برای مساله ی یک بعدی نشان می دهیم.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی گرمای خطی تصادفی با نوفه جمعی مورد مطالعه قرار گرفته است. در این راستا از روش عنصر متناهی و اویلر پسرو به ترتیب برای نیم گسسته سازی مکان و زمان استفاده شده است. ابتدا تخمین خطا برای مساله ی تصادفی نیم گسسته به دست آمده است که در نهایت در اثبات تخمین های همگرایی قوی برای مساله ی تصادفی استفاده شده اند.

در این پایان نامه، معادله ی انتگرو - دیفرانسیل هذلولوی همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه در نظر گرفته شده است. ابتدا خوش وضعی مساله به معنی اثبات وجود و یکتایی جواب مساله با استفاده از روش تقریب گالرکین مطالعه شده است. سپس، یک روش عنصر متناهی مکان - زمان پیوسته از مرتبه ی یک برای مساله فرموله شده است. پایداری مساله ی دوگان گسسته اثبات شده است که برای محاسبه ی مرتبه بهینه تخمین خطای پیشین به وسیله ی مساله ی دوگان استفاده شده است. در پایان صحت تئوری با یک مثال عددی آزمایش میگردد.

در این پایان نامه از یک روش بدون شبکه تحت عنوان روش جواب اساسی برای حل معادلات دیفرانسیل بیضوی استفاده می شود. ‎ این روش به طور مستقیم برای حل معادلات همگن دو و سه بعدی مورد استفاده قرار می گیرد‎.‎ برای حل معادلات پواسون ترکیبی از این روش و روش جواب خصوصی به کار گرفته می شود‎.‎ با داشتن یک جواب خصوصی که لزوما‎ً‎ در شرایط مرزی صدق نمی کند می توان معادله را به یک معادله همگن با شرایط مرزی تغییر یافته تبدیل کرد‎.‎ در این پایان نامه دو روش متفاوت برای یافتن جواب خصوصی مورد بررسی قرار می گیرد‎.‎ در روش اول جواب خصوصی توسط توابع پایه ی شعاعی به دست می آید‎.‎ در روش دیگر محاسبه جواب خصوصی به وسیله پتانسیل نیوتن انجام می گیرد‎.‎ در هر دو روش پس از یافتن جواب خصوصی‎،‎ معادله همگن حاصل به کمک روش جواب اساسی حل می شود‎.‎ همچنین تعمیم هر دو روش به حالت سه بعدی ارائه می شود و به وسیله نتایج عددی خطا و زمان اجرا در دو روش مورد مقایسه قرار می گیرد‎.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی موج خطی تصادفی با نوفه ی جمعی در قالب نظریه نیم گروه ها مورد مطالعه قرار گرفته است. برای این منظور، از روش عنصر متناهی و اویلر پسرو به ترتیب برای نیم گسسته سازی مکانی و زمانی استفاده شده است. ابتدا، تخمین های خطای بهینه با کمترین همواری لازم برای مساله ی غیر تصادفی نیم گسسته به دست آمده اند و در اثبات تخمین های همگرایی قوی برای مساله ی تصادفی استفاده شده اند. سپس، این روش با روش های گالرکین پیوسته (cG(1)/cG(1 و تفاضل متناهی (لیپ فراگ) مقایسه شده اند. در نهایت، این نظریه ها با مثال های عددی برای مساله ی یک بعدی، در دو حالت نوفه ی سفید و نوفه ی رنگی، نشان داده شده اند. هدف اصلی در این پایان نامه، محاسبه ی مرتبه ی همگرایی قوی برای این دسته از معادلات است که می تواند به دامنه های چند بعدی و نوفه ی وابسته به مکان نیز گسترش داده شود.

در این پایان نامه تعدادی پیش بهبود دهنده مثلثی جدید برای مسائل نقطه زینی بر اساس تجزیه متقارن و مثلثی ST را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. علاوه بر این، تخمین هایی برای اعداد شرطی دستگاه های پیش بهبود شده به دست خواهد آمد و پارامترهای شبه بهینه را ارائه می کنیم. آزمایش های عددی ویژگی های پیش بهبود دهنده ها را نمایان و تاثیر آن ها بر همگرایی روش گرادیان مزدوج در حل دستگاه های پیش بهبود شده را تایید می کنند.

در این پایان نامه، ابتدا بطور مختصر به معرفی موجکها و نحوه ساخت آنها اشاره می کنیم. موجک ها ی اسپلاین مکعبی هرمیتی و نحوه ی ساختن آن ها را با استفاده از آنالیز چند ریزه سازی ارائه می کنیم. سپس با روش گالرکین و هم مکانی و استفاده از پایه های موجک اسپلاین مکعبی هرمیتی مسائل اشتورم- لیوویل، معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم و دیفرانسیل غیرخطی با شرایط مرزی متناوب را به یک دستگاه تبدیل می کنیم. نتایج عددی حاصل از اعمال این روش را بر روی چند مثال می آوریم.

در این پایان نامه روش دیفرانسیل-کوادراتور ترفتز ( DQTM) که یک روش بدون شبکه بندی بر پایه ی ترکیب روش جواب خصوصی (MPS) با روش دیفرانسیل-کوادراتور( DQM) و روش ترفتز می باشد ، برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی پواسون استفاده می شود. در این روش MPS به کار می رود تا معادلاتی هم ارز را از معادله دیفرانسیل اصلی ایجاد کند. سپس DQMبرای تقریب جواب خصوصی مورد استفاده قرار می گیرد و روش ترفتز جواب همگن را تقریب می زند. بنا بر این DQTM یک تکنیک ذاتا بدون شبکه بندی و مستقل از انتگرال گیری است. از آن جایی که در این روش برای انتخاب نقاط، انعطاف پذیری زیادی وجود دارد لذا DQTM روی دامنه های غیرمنظم نیز به خوبی کار می کند. نتایج عددی نشان می دهند که روش جدید با تعداد نقاط محدود نیز روی دامنه های منظم و غیر منظم موثر است.

در این پایان نامه، خانواده ای از تجزیه متقارن مثلثی (ST) مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. به کمک این تجزیه هر ماتریس نامنفرد می تواند به صورت حاصل ضرب یک ماتریس متقارن S و یک ماتریس مثلثی T بیان شود. بعلاوه S می تواند معین مثبت باشد. برای محاسبه تجزیه ST دو الگوریتم عددی بیان خواهد شد که در آنها S معین مثبت است. سپس به عنوان کاربردی از تجزیه ST ، سه پیش بهبود دهنده بلوکی برای مسائل نقطه زینی مورد بررسی قرار خواهند گرفت و عدد شرطی برای سه دستگاه متقارن و معین مثبت تخمین زده خواهد شد. نهایتا پس از اعمال هر یک از سه پیش بهبود دهنده مذکور بر مسئله نقطه زینی که دستگاه معادلات خطی نظیر آن نامتقارن است، روش عددی گرادیان مزدوج را برای دستگاه های متقارن و معین مثبت حاصل بکار می گیریم و با آزمایش های عددی تاثیر هر یک از پیش بهبود دهنده ها را بررسی خواهیم نمود.

در این پایان نامه حل عددی معادله موج خطی با شرایط اولیه به عنوان مثال اصلی معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی خطی مرتبه دوم در نظر گرفته می شود. ابتدا روش عنصر متناهی برای نیم گسسته سازی مکانی بکار برده می شود. سپس، گسسته سازی زمانی با روش تفاضل متناهی کرانک- نیکلسون و نیومارک در نظر گرفته می شود. ...

در این پایان نامه‎،‎ معادله ی موج با شرایط اولیه و مرزی دیریکله در نظرگرفته شده است‎.‎ ابتدا به اختصار به حل تقریبی معادله ی بیضوی با استفاده از روش عنصر متناهی و آنالیز خطای پیشین و پسین آن اشاره می کنیم‎.‎ سپس معادله ی گرما و آنالیز خطای پسین آن را در حالت نیم گسسته ی مکانی با استفاده از تکنیک بازسازی بیضوی مورد بررسی قرار می دهیم‎.‎ در ادامه‎،‎ به تجزیه ی نیم گسسته ی مکانی با استفاده از روش عنصر متناهی‎،‎ تجزیه ی نیم گسسته ی زمانی با استفاده از روش تفاضلات متناهی و تجزیه ی کاملا‎ً‎ گسسته برای معادله ی موج می پردازیم‎.‎ در نهایت برای هر کدام از این گسسته سازی ها‎،‎ تخمین خطای پیشین و سپس تخمین خطای پسین را با دو تکنیک براساس روش انرژی بدست می آوریم‎،‎ که البته در این پایان نامه تاکید بیشتر بر تکنیک بازسازی بیضوی می باشد‎.‎

در این پایان نامه‎،‎ ابتدا نیمه گسسته سازی مکانی معادله گرما را‎،‎ به عنوان یک مثال از مساله سهموی‎،‎ با استفاده از روش عنصر متناهی و سپس گسسته سازی کامل مساله را با روش اویلر پسرو انجام می دهیم‎.‎ در ادامه پس از معرفی بازسازی بیضوی برای تحلیل خطای پسین معادلات نیمه گسسته و کاملا گسسته و بیان تخمین پایداری برای مساله ی پیوسته دوگان‎،‎ تخمین های خطای پسین را با استفاده از روش های انرژی و دوگان و ترکیب آن ها با بازسازی بیضوی بدست می آوریم‎.‎

در این پایان نامه، دو روش بدون شبکه بندی برای حل معادله ی پخش با مشتق کسری کاپاتو نسبت به زمان ارائه شده است. در هر دو روش از تقریب تفاضل پیشرو برای گسسته کردن مشتق کسری کاپاتو استفاده می شود. در روش اول با استفاده از روش کانسا به حل معادله ی پخش کسری می پردازیم، که این روش اولین پژوهش در مورد حل این دسته از معادلات با استفاده از روش کانسا می باشد. در روش دوم بین مقادیر تابع مجهول در نقاط دلخواه و مقادیرآن در نقاط درونیابی رابطه ای را به دست می آوریم، که با استفاده از رابطه ای به دست آمده به حل معادله خواهیم پرداخت. در هر روش جواب به صورت ترکیب خطی از توابع پایه ای شعاعی در نظر گرفته می شود و با استفاده از هم محلی در نقاط مرزی و دامنه ای به حل معادله می پردازیم. در نهایت دستگاه معادلاتی حاصل خواهد شد که با به دست آوردن ضرایب مجهول در هر پله ی زمانی و جایگذاری آن ها می توان مقادیر تابع مجهول را در هر نقطه ی دلخواه و در هر گام زمانی تعیین کرد.

معادله کلاین گوردن و کلاین گوردن زاخارف معادلات موج خطی و غیرخطی می باشند که در این پایان نامه با استفاده از روشهای تفاضلات متناهی به حل آنها می پردازیم.

در این پایان نامه یک معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل هذلولوی با هسته ی از نوع مثبت‎،‎ با شرایط اولیه و مرزی‎،‎ در نظر گرفته شده است‎.‎ مسائلی از این قبیل‎،‎ به عنوان مثال‎،‎ در مدلسازی چسبنده-کشسان و نظریه ی کشسان خطی استفاده می شوند. از آنجا که معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل مورد مطالعه از نوع هذلولوی می باشد‎،‎ حل تقریبی مساله به روش عناصر متناهی و آنالیز جواب تقریبی آن مشابه با معادله ی موج می باشد‎.‎ در این پایان نامه ابتدا به حل تقریبی معادله ی موج به روش عناصر متناهی‎،‎ در متغیر مکان‎،‎ پرداخته و تخمین های خطای پیشین را برای جواب تقریبی آن و مشتق های زمانی و مکانی آن‎،‎ با روش‎ ‎ انرژی‎،‎ بدست می آوریم‎.‎ سپس روش ‎عناصر متناهی را برای تقریب معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل‎،‎ در متغیر مکان‎،‎ بکار می بریم‎.‎ پایداری مساله ی پیوسته و نیم گسسته را اثبات نموده و سپس تخمین های خطای پیشین از مرتبه ی بهینه را می یابیم‎.‎ در نهایت برای بهبود همواری تابع جواب در تخمین خطای پیشین با نرم ‎$L_2$‎ روشی را ارائه می دهیم.

روشهای نقطه درونی یکی از روشهای مهم برای حل مسائل برنامه ریزی خطی هستند که در سالهای اخیر مورد توجه محققین قرار گرفته اند. یکی از مهمترین این روشها الگوریتم کارمارکار است، که یک روش نقطه درونی با پیچیدگی محاسباتی چند جمله ای بوده و جواب بهینه ی مسائل بزرگ را در صورت وجود می یابد. هدف اصلی این پایان نامه ارتقاء روش نقطه درونی کارمارکار برای دسته ی خاصی از مسائل برنامه ریزی خطی است، که این کار به دو صورت انجام گرفته است. در یک روش با ارائه پارامتر طول گام جدید و پیاده سازی آن بر روی آزاد شده ی مسائل پوشش مجموعه، نشان داده می شود که سرعت همگرایی این روش به مراتب بالاتر از سرعت همگرایی الگوریتم کارمارکار می باشد. در روش دیگر با ارائه ی استراتژی های مناسب، با استفاده از ساختار مسئله در بدنه ی الگوریتم، جهت حرکت جدیدی به گونه ای معرفی می شود که با حرکت در این جهت جدید تعداد تکرارها تا رسیدن به شرط توقف کارمارکار نسبت به الگوریتم کارمارکار کاهش می یابد. در نهایت دو روش فوق را تلفیق نموده، ثابت می شود الگوریتم ارتقاء یافته برای مسائل پوشش مجموعه از نظر سرعت همگرایی بهتر از الگوریتم کارمارکار عمل می کند.

در این پایان نامه‎،‎ یک مجموعه ی جدید از توابع قطعه ای پیوسته به نام توابع متعامد مثلثی را که از توابع معروف بلاک-پالس به دست می آیند‎،‎ معرفی کرده و به بررسی خواص آن ها می پردازیم و این خواص را با خواص توابع بلاک -‎پالس مقایسه می کنیم‎.‎ همچنین ماتریس های عملیاتی انتگرال این توابع را تولید می کنیم‎.‎ سپس با استفاده از توابع متعامد مثلثی به حل مستقیم مسائل حساب تغییرات می پردازیم و فرمول هایی را تولید می کنیم که برای محاسبه انتگرال های موجود در مسائل حساب تغییراتی به کار می رود و این مسائل را به یک معادله جبری تبدیل می کنند‎.‎ در پایان چند مثال از مسائل حساب تغییرات را آورده و آن ها را توسط توابع متعامد مثلثی حل می کنیم که کارایی و دقت تقریب این روش را در حل مسائل حساب تغییراتی نشان می دهد

مطالعه معادله موج و حل عددی آن با روشهای تفاضل عددی و عناصر متناهی

در این پایان نامه با استفاده از روش عناصر متناهی به حل معادلات سهموی از جمله معادله گرما و معادله انتگرال-دیفرانسیل سهموی می پردازیم. معادلاتی را مطرح کرده و تغییر فرموله می دهیم، سپس جواب مسئله ی تغییر یافته را با استفاده از توابع پیوسته قطعه ای خطی که روی مثلث بندی دامنه مسئله تعریف می شوند تقریب می زنیم. همچنین پایداری و تخمین خطا را برای جواب مسائل مطرح شده، مورد بررسی قرار می دهیم

مطالعه روش های بدون شبکه برای حل عددی معادلات وابسته زمانی