کمال فلاحی

در این رساله با استفاده از دنباله های پوچ ضعیف (دنباله های p‑جمع پذیر ضعیف) و کلاس های متفاوتی از مجموعه ها (مانند مجموعه های دانفورد‐پتیس (به ترتیب، تقریباً دانفورد‐پتیس) در فضاهای باناخ و به ویژه مشبکه‌های باناخ، انواعی از ویژگی ها در ارتباط با خاصیت نقطه‌ی ثابت (به ترتیب، خاصیت نقطه ی ثابت از مرتبه ی p بررسی و مطالعه خواهند شد. همان طور که با توپولوژی نرمی، خاصیتی ضعیف تر از نقطه ی ثابت با نام خاصیت نقطه ی ثابت ضعیف معرفی شده است، ما نیز از توپولوژی Right که قوی تر از توپولوژی ضعیف و ضعیف تر از توپولوژی نرمی هست استفاده کرده و خاصیت نقطه ی ثابت Right از مرتبه ی p و برخی ویژگی هایی که در ارتباط با آن هستند را مطالعه خواهیم کرد. در این راستا، مفاهیم R‑متعامد از مرتبه ی p ،WORTH-R از مرتبه ی p ،R‑اوپیال غیراکید از مرتبه ی p و نسخه ی قوی تر این خواص بیشترین کاربرد را در این رساله خواهند داشت. همچنین شرایط کافی برای اینکه یک زیرفضای بستهی M ⊆ K(F,X) منظور از (F, X)K کلاس تمام عملگرهای فشرده از فضای باناخ X به مشبکه ی باناخ X است) خاصیت نقطه ی ثابت Right از مرتبه ی p داشته باشد را پیدا خواهیم کرد.

در این پایان نامه، نتایج معروف درباره نقاط ثابت زوجی و بهترین نقاط تقریبی زوجی را تعمیم می‌دهیم. نمادهای جفت های مرتب شده از نگاشت های دوری انقباضی را تعمیم داده و شرایط کافی برای وجود و یͺتایی بهترین نقاط تقریبی را به دست می‌آوریم. همچنین، یکͷبرآورد پیشین و یک برآورد پسین برای نقاط ثابت زوجی را به دست آورده و برای بهترین نقاط تقریبی زوجی شرایطی فراهم می کنیم که تحت این شرایط فضای باناخ دارای ی ͷمدول از نوع توانͬ محدب در بهترین نقاط تقریبی با استفاده از دنباله تکرارهای متوالی به دست آید. نتیجه اصلی را با ارائه یکͷمثال، نشان می دهیم. همچنین به تعمیم معروف ترین نتایج نقاط ثابت زوجͬ و بهترین نقاط تقریبی از انقباض های دوری نگاشت های مرتب شده می پردازیم. یکتایی بهترین نقاط تقریبی زوجی برای انقباض دوری از نگاشت های جفت شده در یک ͷفضای باناخ به طور یͺنواخت محدب را ثابت می‌کنیم. همچنین یکͷخطای پیشین و یک ͷخطای پسین برای بهترین نقاط تقریبی جفت شده را با استفاده از دنباله های تکرارهای متوالی به دست می آوریم زمانی که فضای باناخ دارای مدول هایی از دنباله تکرارهای متوالی باشد. با یک شرط کمتر، وجود و یͺتایی نقاط ثابت زوجͬ انقباض های دوری از نگاشت های جفت شده مرتب را در ی ͷفضای متری ͷتام به دست آورده و همچنین ی ͷخطای پیشین و ی ͷخطای پسین و نرخ همگرایی برای نقاط ثابت زوجی را برای دنباله های متوالͬ تکراری را به دست مͬ آوریم. این نتایج را برای حل دستگاه های معادلات انتگرالی دستگاه های معادلات خطا و غیرخطی به کار می گیریم

در این رساله، ابتدا نگاشت های انقباضی ⁃(φ−ψ)⁃Gضعیف دوری گوناگون را تعریف خواهیم نمود و سپس به بررسی وجود نقاط ثابت و بهترین نقطه تقریب برای چنین نگاشت هایی در فضاهای متریͷمجهز به گراف با در نظر گرفتن خاصیت های مختلف خواهیم پرداخت. نتایج مختلف برای در نظر گرفتن حالت های خاصی از گراف ها که شامل عناصر مرتب شده جزئی مقایسه پذیر و e-بسته هستند نیز از قضایای اصلی استخراج خواهند شد. همچنین، به عنوان یک ͷکاربرد، نوع انتگرالی این انقباض ها مطالعه خواهند شد. علاوه بر این، مثال های گوناگونͬ نیز در سراسر متن رساله برای کارایی نتایج قبلی و قضایای جدید به دست آمده ارائه خواهند شد. مقایسه های انجام شده بین قضایای قبلͬ و نتایج جدید به دست آمده نشان خواهند داد که نتایج موجود در نقطه ثابت و بهترین نقطه تقریب به خوبی در این رساله تعمیم یافته اند.

بر طبق سه مفهوم، تعامد ضعیف، ویژگیWORT Hو شرط غیر دقیق Opialدر فضاهای باناخ، نوع )مثبت( مجزا از آنها در مشبͺه های باناخ معرفی می شوند. هم چنین، مشبکه های باناخ در این سه خاصیت هم ارز با مشخصه نرم پیوسته ترتیبی است. به عنوان یک ͷکاربرد از آن، برخی شرایط برای مشبکه باناخ تحت سه خاصیت گفته شده، ویژگی نقطه ثابت ضعیف را ثابت می کند. بعد از آن، ویژگی نقطه ثابت ضعیف )مثبت( مجزا برای تعدادی از فضاهای عملͽری مطالعه مͬ شود. خصوصا، بررسی می شود که برای فضای باناخ Xو مشبکه باناخ ،Fمشبکه باناخ ) M ⊂ K(X, Fدارای ویژگی نقطه ثابت ضعیف )ویژگی نقطه ثابت ضعیف )مثبت( مجزا( است اگر و فقط اگر عملͽر ارزیاب ∗ ψyروی Mعملگر کاملا پیوسته باشد )تقریبا دانفورد⁃پتیس( که ∗ ψy∗ : M → Xبصورت ∗ ψy∗(T) = T∗yبرای ∗ y∗ ∈ Tو T ∈ Mتعریف می شود.

هدف از این رساله، تعریف نگاشت ها و انقباض های انتگرالr و بدست آوردن نقاط تقریب این انقباض ها در فضاهای متریک مجهز به گراف است و سپس بهترین نقاط تقریب را برای انقباض های انتگرالی تعمیم داده و چندین نتیجه را بدست می آوریم. همچنین چندین نتیجه نقطە ثابت شناختە شده را در ادامه بیان کرده و برای این نتایج به ارائه مثال هایی جالب می پردازیم.

در این رساله پس از تعریف خاصیت نقطه ثابت ضعیف در فضاهای باناخ، شرایطͬ را که منجر به ایجاد این خاصیت می شود مورد مطالعه قرار می دهیم. بە عنوان مثال اگر فضای باناخ Xساختار نرمال ضعیف داشته باشد، آن گاه خاصیت نقطه ثابت ضعیف دارد. اگر Xخاصیت شور، خاصیت اوپیال و یا خاصیت K داشته باشد، آن گاه ساختار نرمال ضعیف دارد. در این راستا برخͬ خواص مانند خاصیت تعامد ضعیف را در مشبͺە های باناخ تعریف می کنیم. در ادامه نسخە های مجزا )مثبت( خواص تعامد ضعیف و WORT H و همچنین شرط اوپیال غیراکید را معرفͬ می کنیم. بیان می شود که در مشبکە های باناخ، این سه خاصیت با پیوستگی ترتیبی نرم معادل هستند. بە عنوان یکͷکاربرد، بیان خواهد شد که مشبͺە های باناخ تحت هر یک ͷاز این سه خاصیت، خاصیت نقطه ثابت ضعیف را نتیجه می دهند. سپس، خاصیت نقطه ثابت ضعیف مجزا )مثبت( برای برخی فضاهای عملگری، بررسͬی خواهد شد. سپس مفهوم جدید خاصیت نقطه ثابت ضعیف از مرتبە ی pرا معرفͬ مͬ کنیم و شرایط گفته شده در فضاهای باناخ و مشبکە های باناخ را این بار با مرتبە ی pبررسی خواهیم کرد. در انتها با استفاده از مفهوم توپولوژی ⁃R) Rightتوپولوژی،( سه مفهوم به نام های R-تعامد، R − WORT Hو R-اوپیال غیراکید )و همچنین نسخە های مجزای آن ها( را در مشبکە های باناخ، تعریف می کنیم. علاوه بر این مشبکە های باناخی که در این سه خاصیت با نرم پیوسته ترتیبی معادل هستند را معرفی می نماییم. به عنوان یک ͷکاربرد، شرایط کافی برای این که یکͷمشبکە ی باناخ دارای خاصیت ⁃Rنقطه ثابت)خاصیت ⁃Rنقطه ثابت مجزا( باشد بیان می کنیم

در این رساله، با استفاده از مفهوم فضای هیلبرت هسته ی باز تولید و مفهوم پیوستگی مطلق وجود و حل معادلات دیفرانسیل مورد بررسی قرار خواهد گرفت، همچنین مثال هایی از هسته ها ی بازتولید و نقش فضاهای سوبولف در فضای هیلبرت هسته ی بازتولید را مورد بررسی قرار می‌دهیم. در این راستا،به بیان برخͬی تعاریف اولیه و قضایای مورد نیاز می پردازیم. و در ادامه فضای سوبولف را می آوریم و همچنین فضاهای هیلبرت هسته باز تولید RKHSها را بر ی ͷمستطیل دوبعدی ][a, b] × [c, d تعریفمی‌کنیم. یکͷفضای هیلبرت هسته باز تولید ی ͷچارچوب مفید برای ساختن جواب های تقریبی از معادلات دیفرانسیل جزیی P DEsاست. بسیاری از روش های عددی برای حل P DEsخطا و غیرخطا مطرح شده اند، اما روشی که از هسته های بازتولید استفاده شده باشد نیافته ایم. برای رسیدن به هدف این رساله بر جوابهای تقریبی و دقیق بر P DEsبا شرایط اولیه مرزی خطͬ متمرکز می شویم. و در ادامه همین مباحث، به طور خاص سیستم های خطͬ مختل شده از مسایل مقدار مرزی − اولیه مرتبه دوم در فضای هسته بازتولید را مورد بررسی قرار می‌دهیم. فصل های آخر شامل تعاریف و ویژگی‌هایی از چندجمله ای های چبیشف در فضای ی ͷبعدی می‌باشد. در این قسمت ما هسته بازتولید بر دو مجموعه از گره ها را در دو بعد مورد بحث قرار می‌دهیم و فضای هسته باز تولید را به وسیله تعریف دوباره ضرب داخلی از چند جمله ای های چبیشف به دست می‌آوریم. در پایان به توصیف روش حل معادلات ذکرشده با شرایط مقدار مرزی − اولیه در فضای هسته باز تولید ) Pn۲(Ωمی‌پردازیم.

هدف از این رساله، تعریف نگاشت بە طور تقریبی افزایشی متعامد و بدست آوردن چندین نتیجه از بهترین نقاط تقریب این نگاشت ها در چارچوب فضاهای جدید، که فضاهای b-متریک متعامد نامیده می‌شود. هم‌چنین چندین نتیجه نقطه ثابت شناخته شده در چنین فضاهایی تخمین زده می‌شود. تمام نتایج اصلی و تعاریف جدید توسط چند مثال گویا و جالب پشتیبانی می‌شوند.

در این رساله، به معرفی مفاهیم جدیدی از قبیل نگاشت های شبه انقباضی فیشر −nدوری ، نگاشت شبه انقباضی فیشر −nغیردوری عادی و کامل در فضاهای متری ͷپرداخته و نتایج مطالعه صفری و همکاران) (٢٠١٩را تعمیم می دهیم. در همین حال، ما به این سوال پاسخ میدهیم که تحت چه شرایط یک نگاشت شبه انقباضی فیشر −nغیردوری کامل دارای ) n(n٢−١زوج بهینه نقطه ثابت منحصربه فرد است. در ادامه، نوع جدیدی از انقباض گراف دار را به کم ͷدسته ای خاص از توابع معرفی کرده و قضیه بهترین نقطه تقریب را در فضاهای ‐bمتری ͷکامل مجهز به ی ͷگراف ارائه می کنیم. سرانجام، به کمک مثال‌های غیر بدیهی به تائید قضیه اصلی خود پرداخته و برخی از نتایج آن را برای گراف های معمول بیان می نماییم.

در این پایان نامه مفهوم نگاشت های انقباضی و غیرانبساطی مبدایی روی مجموعه های ستاره گون در فضاهای باناخ احتمالی را ارائه داده و جزئیات همگرایی فاصله انقباض های p-دوری روی اجتماع pزیرمجموعه از مجموعه ابتدایی X که روی فضاهای متریکͷاحتمالی و فضاهای احتمالی منجربه عنوان مشخصه دنباله های کوشی که همگرا به بهترین نقطه تقریب هستند را به دست می‌آوریم. هدف ما ارائه برخی تعاریف و مفاهیم اصلی بهترین نقطه تقریب در کلاس جدیدی از فضاهای متری ͷاحتمالی و اثبات قضیه های بهترین نقطه تقریبی برای نگاشت های انقباضی و نگاشت های انقباضی ضعیف است. در نهایت مفهوم تقریب جابجایی، تقریب غالب، تقریب غالب ضعیف، تعمیم تقریب φ-انقباض و تقریب بهترین نقطه معمول در فضای منجر احتمالی را تعریف می‌کنیم. برخی از قضیه های بهترین نقطه تقریب معمول و نقطه ثابت معمول را برای تقریب غالب و نگاشت غالب ضعیف در فضای منجر احتمالی تحت شرایط خاص را ثابت می‌کنیم